1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 4%、四半期複利で €20 000 を投資します。3 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €20 0004% / 4n = 3
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
19 年間、毎月末に €250 を積み立てます。口座の利率は年 3.6%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €2503.6% / 12N = 228
FV = €
3.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€10 000, €10 000, €6 000, €6 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 5%CF0 = −30 000CF1 = 10 000CF2 = 10 000CF3 = 6 000CF4 = 6 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €18 500, €9 500, €18 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 18 500CF2 = 9 500CF3 = 18 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 2.5%n = 5
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
残存期間 19 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 6%）が €1 263 で売られています。発行者は 5 年後に €1 060 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%P = €1 263繰上償還価格 = €1 060繰上償還まで 5 年
YTC = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €6 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 3%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €6 000 000D = €4 000 000re = 9%rd = 3%T = 25%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €15.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €1 020 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 25% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.3rf = 2.5%rm = 8.5%rd = 5%T = 25%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある会社は 8 000 個を各 €20 で販売しています。1 個あたりの変動費は €18、固定費は €10 000 です。この販売水準での営業レバレッジ度 DOL を求めなさい。
Q = 8 000p = €20v = €18F = €10 000
DOL =
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は月に 6 250 個を各 €16 で販売しており、1 個あたりの変動費は €8、固定費は月 €20 000 です。1 個あたりの変動費が €4 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？
Q = 6 250p = €16v = €8 → €12F = €20 000
Q = 個
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 22537 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.04/4 = 0.01
N = m·n = 4·3 = 12
将来価値
FV = 20 000·(1 + 0.01)12 = 20 000·1.127 = €22 536.50
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 81647 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·19 = 228
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 250·(1.98 − 1)/0.003 = €81 646.74
自分で払い込んだのは €57 000。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: NPV = −1287 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 10 000/1.05 = 9 523.81
CF2/(1 + 0.05)2 = 10 000/1.103 = 9 070.29
CF3/(1 + 0.05)3 = 6 000/1.158 = 5 183.03
CF4/(1 + 0.05)4 = 6 000/1.216 = 4 936.21
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 38.77 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(35%) = 1 232.28
NPV(40%) = −379.01
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 35 + 5·1 232.28/(1 232.28 − (−379.01)) = 38.82%
正確な値: NPV(38.77%) = 0 → IRR = 38.77%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1070 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.0125, N = 10
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.8832)/0.0125 = €186.91
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTC = 1.64 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
1263 = 60·(1 − (1 + y)−5)/y + 1060/(1 + y)5
数値的に解く
y = 1%: €1 299.76
y = 2%: €1 242.88
YTC = 1.64%
最終利回りは 3.998% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.3 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €10 000 000, E/V = 0.6, D/V = 0.4
WACC
WACC = 0.6·9% + 0.4·3%·(1 − 0.25) = 6.3%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.578 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€15.50 = €15 500 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 1.3·6% = 10.3%
ウェイト
V = €35 900 000, E/V = 0.4318, D/V = 0.5682
WACC
WACC = 0.4318·10.3% + 0.5682·5%·(1 − 0.25) = 6.578%
9.損益分岐点分析
答え: DOL = 2.667
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益の合計
CM = 8 000·(20 − 18) = €16 000
営業利益
Π = 16 000 − 10 000 = €6 000
DOL
DOL = 16 000/6 000 = 2.667
10.損益分岐点分析
答え: Q = 12500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
現在の利益
Π = 6 250·(16 − 8) − 20 000 = €30 000
同じ利益に必要な個数
Q = (20 000 + 30 000)/4 = 12 500