コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

6 年後に €40 000 が必要です。口座の利率は年 4.8%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €40 0004.8% / 4n = 6

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€25 000 のローンを 5 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.8%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €25 0004.8% / 12N = 60

A = €

3.NPV と IRRふつう

€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€9 000, €17 000, €9 000, €20 000。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 10%CF₀ = −45 000CF₁ = 9 000CF₂ = 17 000CF₃ = 9 000CF₄ = 20 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €9 500, €11 500, €16 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −25 000CF₁ = 9 500CF₂ = 11 500CF₃ = 16 500

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 3%n = 9

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 9 年後に満期を迎え、€1 065 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8%n = 9P = €1 065

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある会社の負債資本比率（時価）は 0.4 です。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。

D/E = 0.4r_e = 9%r_d = 4.5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.6 です。負債資本比率を 1.5 にする計画です。税率は 25%、無リスク金利は 1.5%、市場リスクプレミアムは 4% です。新しい資本構成での株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_U = 0.6D/E = 1.5T = 25%r_f = 1.5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €25 000、1 個あたりの変動費が €10 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €27 000、1 個あたりの変動費が €8 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？

F_A = €25 000v_A = €10F_B = €27 000v_B = €8

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある製品は 1 個 €12 で売られ、変動費は 1 個あたり €4、固定費は年 €40 000 です。予算販売量は 6 250 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。

F = €40 000p = €12v = €4予算 = 6 250

MS = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 30042 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.048/4 = 0.012

N = 4·6 = 24

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.331 = €30 041.92

答え

PV = €30 041.92

2.貨幣の時間価値

答え: A = 469.5 €

月利と返済回数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·5 = 60

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.787

A = 25 000·0.004/(1 − 0.787) = €469.49

答え

A = €469.49

3.NPV と IRR

答え: NPV = −2346 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 9 000/1.1 = 8 181.82

CF₂/(1 + 0.1)² = 17 000/1.21 = 14 049.59

CF₃/(1 + 0.1)³ = 9 000/1.331 = 6 761.83

CF₄/(1 + 0.1)⁴ = 20 000/1.464 = 13 660.27

合計する

NPV = €−2 346.49

答え

NPV = €−2 346.49

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

4.NPV と IRR

答え: IRR = 21.05 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(20%) = 451.39

NPV(25%) = −1 592.00

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 20 + 5·451.39/(451.39 − (−1 592.00)) = 21.1%

正確な値: NPV(21.05%) = 0 → IRR = 21.05%

答え

IRR = 21.05%

5.債券の価格と利回り

答え: P = 1157 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €25.00, i = 0.015, N = 18

クーポンの現在価値

€25.00·(1 − 0.7649)/0.015 = €391.81

額面の現在価値

€1 000·0.7649 = €764.91

価格

P = €1 156.73

答え

P = €1 156.73

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 7.002 %

利回りの方程式

€1 065 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数値的に解く

P(7%) = €1 065.15, P(8%) = €1 000.00

YTM = 7.002%

答え

YTM = 7.002%

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.393 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

D/E からの重み

E/V = 1/(1 + 0.4) = 0.7143

D/V = 0.4/(1 + 0.4) = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·9% + 0.2857·4.5%·(1 − 0.25) = 7.393%

答え

WACC = 7.393%

8.CAPM と WACC

答え: r_e = 6.6 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

レバードベータ

β_L = 0.6·(1 + 0.75·1.5) = 1.275

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.275·4% = 6.6%

答え

r_e = 6.6%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 1000 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

総費用が等しい

25 000 + 10Q = 27 000 + 8Q

Q について解く

Q = (27 000 − 25 000)/(10 − 8) = 1 000

答え

Q = 1 000 個

この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。

10.損益分岐点分析

答え: MS = 20 %

損益分岐点販売量

Q = F/(p − v) = 40 000/8 = 5 000

安全余裕率

MS = (6 250 − 5 000)/6 250·100 = 20%

答え

MS = 20%

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