1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 21%、半年複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 21%m = 2
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
€10 000 のローンを、年 5.4%、月複利で 3 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €10 0005.4% / 12N = 36
I = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €60 000、耐用年数は 10 年、運転費は毎年 €5 000（各年末に支払い）です。資本コストは 10% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €60 000M = €5 000n = 10r = 10%
EAC = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €20 500, €27 000, €28 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000CF1 = 20 500CF2 = 27 000CF3 = 28 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 3%n = 7
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 8 年後に満期を迎え、€855 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 8P = €855
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
E = €4 000 000D = €6 000 000re = 9%rd = 3.5%T = 28%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €41.00 の株式 2 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 3%、税率は 28% です。株式のベータは 1.5、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.5rf = 3.5%rm = 8.5%rd = 3%T = 28%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €50 で売られ、変動費は 1 個あたり €45 です。固定費は月 €12 500 です。月 €2 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €12 500p = €50v = €45利益 = €2 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €65 で売られ、変動費は 1 個あたり €45、固定費は年 €80 000 です。予算販売量は 5 200 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €80 000p = €65v = €45予算 = 5 200
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 22.1 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.105)2 − 1 = 1.221 − 1 = 22.1%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: I = 854.3 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0045, N = 36
A = 10 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)−36) = €301.51
利息の総額
I = N·A − P = 36·301.5 − 10 000 = €854.29
3.NPV と IRR
答え: EAC = 14765 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
EAC
EAC = 9 764.72 + 5 000 = €14 764.72
4.NPV と IRR
答え: IRR = 37.43 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(35%) = 1 380.38
NPV(40%) = −1 377.55
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 35 + 5·1 380.38/(1 380.38 − (−1 377.55)) = 37.5%
正確な値: NPV(37.43%) = 0 → IRR = 37.43%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1125 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €25.00, i = 0.015, N = 14
クーポンの現在価値
€25.00·(1 − 0.8118)/0.015 = €313.58
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 7.473 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€855 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
数値的に解く
P(7%) = €880.57, P(8%) = €827.60
YTM = 7.473%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.112 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €10 000 000, E/V = 0.4, D/V = 0.6
WACC
WACC = 0.4·9% + 0.6·3.5%·(1 − 0.28) = 5.112%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.997 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€41.00 = €82 000 000
D = 10 000·€1 050 = €10 500 000
ウェイト
V = €92 500 000, E/V = 0.8865, D/V = 0.1135
WACC
WACC = 0.8865·11% + 0.1135·3%·(1 − 0.28) = 9.997%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 2900 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (12 500 + 2 000)/5 = 2 900
10.損益分岐点分析
答え: MS = 23.08 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 80 000/20 = 4 000
安全余裕率
MS = (5 200 − 4 000)/5 200·100 = 23.08%