1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3.6%、月複利で €8 000 を投資します。5 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €8 0003.6% / 12n = 5
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€20 000 のローンを 3 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €20 0006% / 12N = 36
A = €
3.NPV と IRRふつう
€75 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€19 000, €19 000, €33 000, €35 000。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 10%CF0 = −75 000CF1 = 19 000CF2 = 19 000CF3 = 33 000CF4 = 35 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €30 000, €24 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −50 000CF1 = 30 000CF2 = 24 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 9 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 7% のとき €837 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 9P = €837YTM = 7%
c = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 5 年後に満期を迎え、€1 070 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 5P = €1 070
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €6 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 11%、税引前負債コストは 7%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
E = €6 000 000D = €5 000 000re = 11%rd = 7%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €32.00 の株式 2 500 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 28% です。株式のベータは 0.6、無リスク金利は 4%、市場収益率は 11% です。WACC を求めなさい。
β = 0.6rf = 4%rm = 11%rd = 4.5%T = 28%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €28 で売られ、変動費は 1 個あたり €25 です。固定費は月 €15 000 です。月 €12 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €15 000p = €28v = €25利益 = €12 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は 1 280 個を各 €45 で販売しており、1 個あたりの変動費は €25、固定費は €16 000 です。販売量が 10% 減少すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？
Q = 1 280p = €45v = €25F = €16 000%ΔQ = −10%
%ΔΠ = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 9575 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = m·n = 12·5 = 60
将来価値
FV = 8 000·(1 + 0.003)60 = 8 000·1.197 = €9 575.16
2.貨幣の時間価値
答え: A = 608.4 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·3 = 36
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.8356
A = 20 000·0.005/(1 − 0.8356) = €608.44
3.NPV と IRR
答え: NPV = 6674 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 19 000/1.1 = 17 272.73
CF2/(1 + 0.1)2 = 19 000/1.21 = 15 702.48
CF3/(1 + 0.1)3 = 33 000/1.331 = 24 793.39
CF4/(1 + 0.1)4 = 35 000/1.464 = 23 905.47
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 5.498 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(5%) = 340.14
NPV(10%) = −2 892.56
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 5 + 5·340.14/(340.14 − (−2 892.56)) = 5.526%
正確な値: NPV(5.498%) = 0 → IRR = 5.498%
5.債券の価格と利回り
答え: c = 4.498 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.07)−9 = €543.93
クーポン
C = (837 − 543.93)/6.515 = €44.98
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 2.494 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 070 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
数値的に解く
P(2%) = €1 094.27, P(3%) = €1 045.80
YTM = 2.494%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.361 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €11 000 000, E/V = 0.5455, D/V = 0.4545
WACC
WACC = 0.5455·11% + 0.4545·7%·(1 − 0.258) = 8.361%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.919 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€32.00 = €80 000 000
D = 5 000·€960 = €4 800 000
ウェイト
V = €84 800 000, E/V = 0.9434, D/V = 0.0566
WACC
WACC = 0.9434·8.2% + 0.0566·4.5%·(1 − 0.28) = 7.919%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 9000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (15 000 + 12 000)/3 = 9 000
10.損益分岐点分析
答え: %ΔΠ = −26.67 %
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益と利益
CM = 1 280·20 = €25 600
Π = 25 600 − 16 000 = €9 600
DOL
DOL = 25 600/9 600 = 2.667
利益の変化
%ΔΠ = 2.667·(−10%) = −26.67%
確認：新しい利益 = 1 152·20 − 16 000 = €7 040.00。