コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

ある不動産は来年 €20 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 4% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 9% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。

C₁ = €20 000g = 4%r = 9%

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

7 年間、毎月末に €50 を積み立てます。口座の利率は年 5.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €505.4% / 12N = 84

FV = €

3.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €60 000 です。3 年間、毎年末に €21 000 を生み、その後 €12 000 で売却できます。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €60 000CF = €21 000S = €12 000n = 3r = 8%

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €20 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €11 500, €8 000, €4 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €30 000 で、€8 000, €11 500, €16 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −20 000, 11 500, 8 000, 4 500B: −30 000, 8 000, 11 500, 16 500

r* = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 7% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 7%n = 4

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 8 年後に満期を迎え、€870 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 3%n = 8P = €870

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 3%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。

E = €8 000 000D = €1 000 000r_e = 13%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.4 で 0.9 です。負債資本比率を 0.6 に引き上げる計画です。税率は 25%、無リスク金利は 3.5%、市場リスクプレミアムは 6% です。変更後の株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_L = 0.9D/E₁ = 0.4D/E₂ = 0.6T = 25%r_f = 3.5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €22 で売られ、変動費は 1 個あたり €12 です。固定費は月 €50 000 です。月 €10 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €50 000p = €22v = €12利益 = €10 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は月に 12 500 個を各 €14 で販売しており、1 個あたりの変動費は €8、固定費は月 €30 000 です。1 個あたりの変動費が €3 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？

Q = 12 500p = €14v = €8 → €11F = €30 000

Q = 個

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 400000 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

成長型永久年金

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0.09 − 0.04) = 20 000/0.05 = €400 000.00

答え

PV = €400 000.00

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 5090 €

月利と積立回数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·7 = 84

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1.458 − 1)/0.0045 = €5 090.29

答え

FV = €5 090.29

自分で払い込んだのは €4 200。残りは利息です。

3.NPV と IRR

答え: NPV = 3645 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

毎年のキャッシュフローの現在価値

21 000·2.577 = 54 119.04

残存価値の現在価値

12 000/1.26 = 9 525.99

NPV

NPV = −60 000 + 54 119.04 + 9 525.99 = €3 645.02

答え

NPV = €3 645.02

4.NPV と IRR

答え: r* = 5.646 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −30 000 − (−20 000) = −10 000

ΔCF₁ = 8 000 − 11 500 = −3 500

ΔCF₂ = 11 500 − 8 000 = 3 500

ΔCF₃ = 16 500 − 4 500 = 12 000

差の IRR

NPV_Δ(5%) = 207.32

NPV_Δ(6%) = −111.47

r* = 5.646%

答え

r* = 5.646%

確認：5.646% では両方の NPV が €1 869.57 です。

5.債券の価格と利回り

答え: P = 931.3 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €25.00, i = 0.035, N = 8

クーポンの現在価値

€25.00·(1 − 0.7594)/0.035 = €171.85

額面の現在価値

€1 000·0.7594 = €759.41

価格

P = €931.26

答え

P = €931.26

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 5.012 %

利回りの方程式

€870 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数値的に解く

P(5%) = €870.74, P(6%) = €813.71

YTM = 5.012%

答え

YTM = 5.012%

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 11.81 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €9 000 000, E/V = 0.8889, D/V = 0.1111

WACC

WACC = 0.8889·13% + 0.1111·3%·(1 − 0.25) = 11.81%

答え

WACC = 11.81%

8.CAPM と WACC

答え: r_e = 9.523 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

ベータをアンレバーする

β_U = 0.9/(1 + 0.75·0.4) = 0.6923

新しい D/E でリレバーする

β_L = 0.6923·(1 + 0.75·0.6) = 1.004

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.004·6% = 9.523%

答え

r_e = 9.523%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 6000 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 22 − 12 = €10

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (50 000 + 10 000)/10 = 6 000

答え

Q = 6 000 個

10.損益分岐点分析

答え: Q = 25000 個

現在の利益

Π = 12 500·(14 − 8) − 30 000 = €45 000

1 個あたりの新しい貢献利益

14 − 11 = €3

同じ利益に必要な個数

Q = (30 000 + 45 000)/3 = 25 000

答え

Q = 25 000 個

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