1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €5 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 3% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 8% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €5 000g = 3%r = 8%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€15 000 のローンを 3 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.2%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €15 0004.2% / 12N = 36
A = €
3.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€8 000, €9 000, €9 000。資本コストは 15% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 15%CF0 = −30 000CF1 = 8 000CF2 = 9 000CF3 = 9 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €7 500, €7 000, €7 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 7 000CF3 = 7 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 6% のクーポンを支払い、10 年後に満期を迎えます。最終利回りが 2.5% から 1.5% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 10y1 = 2.5%y2 = 1.5%
ΔP = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 2% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、7 年後に満期を迎えます。価格は €642 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2% (2×)n = 7P = €642
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ベータ 2 の株式の要求収益率は 12% です。無リスク金利は 1% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 2re = 12%rf = 1%
rm = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.4 で 1.1 です。負債資本比率を 0.6 に引き上げる計画です。税率は 30%、無リスク金利は 2.5%、市場リスクプレミアムは 4.5% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.1D/E1 = 0.4D/E2 = 0.6T = 30%rf = 2.5%rm − rf = 4.5%
re = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €11 で売られ、変動費は 1 個あたり €6 です。固定費は月 €6 000 です。月 €6 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €6 000p = €11v = €6利益 = €6 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €28 で売られ、変動費は 1 個あたり €25、固定費は年 €7 500 です。予算販売量は 3 500 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €7 500p = €28v = €25予算 = 3 500
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 100000 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 5 000/(0.08 − 0.03) = 5 000/0.05 = €100 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: A = 444.2 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·3 = 36
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.8818
A = 15 000·0.0035/(1 − 0.8818) = €444.20
3.NPV と IRR
答え: NPV = −10321 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.15)1 = 8 000/1.15 = 6 956.52
CF2/(1 + 0.15)2 = 9 000/1.322 = 6 805.29
CF3/(1 + 0.15)3 = 9 000/1.521 = 5 917.65
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 51.62 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(50%) = 185.19
NPV(55%) = −367.90
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 50 + 5·185.19/(185.19 − (−367.90)) = 51.67%
正確な値: NPV(51.62%) = 0 → IRR = 51.62%
5.債券の価格と利回り
答え: ΔP = 108.7 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €60.00, i = 0.025, N = 10
€60.00·(1 − 0.7812)/0.025 + €1 000·0.7812 = €525.12 + €781.20 = €1 306.32
新しい利回りでの価格
C = €60.00, i = 0.015, N = 10
€60.00·(1 − 0.8617)/0.015 + €1 000·0.8617 = €553.33 + €861.67 = €1 415.00
変化
ΔP = 1 415.00 − 1 306.32 = €108.68
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 9.005 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
7.CAPM と WACC
答え: rm = 6.5 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (12% − 1%)/2 = 5.5%
8.CAPM と WACC
答え: re = 7.991 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.1/(1 + 0.7·0.4) = 0.8594
新しい D/E でリレバーする
βL = 0.8594·(1 + 0.7·0.6) = 1.22
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 1.22·4.5% = 7.991%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 2400 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (6 000 + 6 000)/5 = 2 400
10.損益分岐点分析
答え: MS = 28.57 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 7 500/3 = 2 500
安全余裕率
MS = (3 500 − 2 500)/3 500·100 = 28.57%