コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

ある不動産は来年 €8 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 1% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 6% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。

C₁ = €8 000g = 1%r = 6%

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

15 年後に €75 000 が欲しいとします。年 3.6%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。

FV = €75 0003.6% / 12N = 180

A = €

3.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 で、1 年目から 5 年目の各年末に €15 000, €16 500, €10 500, €11 500, €16 000 を生みます。資本コストは 8% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 15 000CF₂ = 16 500CF₃ = 10 500CF₄ = 11 500CF₅ = 16 000

DPB = 年

4.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €10 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €5 500, €4 000, €2 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €15 000 で、€4 000, €6 500, €7 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −15 000, 4 000, 6 500, 7 500

r* = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が 3 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 5.5% のとき €906 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。

F = €1 000n = 3P = €906YTM = 5.5%

c = %

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 5 年後に満期を迎え、€1 065 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 6%n = 5P = €1 065

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 7%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。

E = €8 000 000D = €1 000 000r_e = 9%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €45.50 の株式 4 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 3%、市場収益率は 7.5% です。WACC を求めなさい。

β = 1.3r_f = 3%r_m = 7.5%r_d = 4%T = 25.8%

WACC = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €33 で売られ、変動費は 1 個あたり €18 です。固定費は月 €60 000 です。月 €6 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €60 000p = €33v = €18利益 = €6 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある製品は 1 個 €28 で売られ、変動費は 1 個あたり €8、固定費は年 €24 000 です。予算販売量は 1 920 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。

F = €24 000p = €28v = €8予算 = 1 920

MS = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 160000 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

成長型永久年金

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0.06 − 0.01) = 8 000/0.05 = €160 000.00

答え

PV = €160 000.00

2.貨幣の時間価値

答え: A = 314.9 €

月利と積立回数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·15 = 180

積立額

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 75 000·0.003/(1.715 − 1) = €314.85

答え

A = €314.85

3.NPV と IRR

答え: DPB = 4.475 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 15 000/1.08 = 13 888.89 → Σ = 13 888.89

年度 2: 16 500/1.166 = 14 146.09 → Σ = 28 034.98

年度 3: 10 500/1.26 = 8 335.24 → Σ = 36 370.22

年度 4: 11 500/1.36 = 8 452.84 → Σ = 44 823.06

年度 5: 16 000/1.469 = 10 889.33 → Σ = 55 712.39

最後の年の端数

DPB = 4 + 5 176.94/10 889.33 = 4.475

答え

DPB = 4.475 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.696 年）より長くなります。

4.NPV と IRR

答え: r* = 6.054 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 000 − 5 500 = −1 500

ΔCF₂ = 6 500 − 4 000 = 2 500

ΔCF₃ = 7 500 − 2 500 = 5 000

差の IRR

NPV_Δ(6%) = 7.99

NPV_Δ(7%) = −136.78

r* = 6.054%

答え

r* = 6.054%

確認：6.054% では両方の NPV が €838.20 です。

5.債券の価格と利回り

答え: c = 2.016 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

額面の現在価値

1000·(1 + 0.055)⁻³ = €851.61

クーポン

C = (906 − 851.61)/2.698 = €20.16

クーポン・レート

c = 20.16/1000 = 2.016%

答え

c = 2.016%

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 4.519 %

利回りの方程式

€1 065 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数値的に解く

P(4%) = €1 089.04, P(5%) = €1 043.29

YTM = 4.519%

答え

YTM = 4.519%

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.583 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €9 000 000, E/V = 0.8889, D/V = 0.1111

WACC

WACC = 0.8889·9% + 0.1111·7%·(1 − 0.25) = 8.583%

答え

WACC = 8.583%

8.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.79 %

時価

E = 4 000 000·€45.50 = €182 000 000

D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3% + 1.3·4.5% = 8.85%

ウェイト

V = €222 000 000, E/V = 0.8198, D/V = 0.1802

WACC

WACC = 0.8198·8.85% + 0.1802·4%·(1 − 0.258) = 7.79%

答え

WACC = 7.79%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 4400 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 33 − 18 = €15

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (60 000 + 6 000)/15 = 4 400

答え

Q = 4 400 個

10.損益分岐点分析

答え: MS = 37.5 %

損益分岐点販売量

Q = F/(p − v) = 24 000/20 = 1 200

安全余裕率

MS = (1 920 − 1 200)/1 920·100 = 37.5%

答え

MS = 37.5%

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