1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 4%、月複利で €3 000 を投資します。8 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €3 0004% / 12n = 8
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
30 年間、毎年初めに €1 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 8% です。30 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €1 000i = 8%n = 30
FV = €
3.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€4 000, €8 000, €6 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −20 000CF1 = 4 000CF2 = 8 000CF3 = 6 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €100 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €13 000 で、7 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 2% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €100 000CF1 = €13 000g = 2%n = 7r = 10%
NPV = €
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 4% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 4%n = 9
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 9 年後に満期を迎え、€905 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 9P = €905
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ベータ 0.8 の株式の要求収益率は 7.9% です。無リスク金利は 3.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 0.8re = 7.9%rf = 3.5%
rm = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1.2 です。負債資本比率を 1 にする計画です。税率は 25%、無リスク金利は 3.5%、市場リスクプレミアムは 4.5% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 1.2D/E = 1T = 25%rf = 3.5%rm − rf = 4.5%
re = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品の単価は €30、1 個あたりの変動費は €18 です。固定費は月 €48 000 で、利益には 20% の税金がかかります。税引後で €24 000 を稼ぐには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
p = €30v = €18F = €48 000T = 20%税引後利益 = €24 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €9 で売られ、変動費は 1 個あたり €4、固定費は年 €4 000 です。予算販売量は 1 120 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €4 000p = €9v = €4予算 = 1 120
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 4129 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.04/12 = 0.003333
N = m·n = 12·8 = 96
将来価値
FV = 3 000·(1 + 0.003333)96 = 3 000·1.376 = €4 129.19
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 122346 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.08)30 − 1)/0.08 = 113.3
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 1 000·113.3·1.08 = €122 345.87
3.NPV と IRR
答え: NPV = −4069 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 4 000/1.06 = 3 773.58
CF2/(1 + 0.06)2 = 8 000/1.124 = 7 119.97
CF3/(1 + 0.06)3 = 6 000/1.191 = 5 037.72
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
4.NPV と IRR
答え: NPV = −33287 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.02)/(1.1))7 = 0.5895
PV = 13 000/(0.1 − 0.02)·(1 − 0.5895) = 66 713.18
NPV
NPV = 66 713.18 − 100 000 = −€33 286.82
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1075 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €25.00, i = 0.02, N = 18
クーポンの現在価値
€25.00·(1 − 0.7002)/0.02 = €374.80
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 7.489 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€905 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数値的に解く
P(7%) = €934.85, P(8%) = €875.06
YTM = 7.489%
7.CAPM と WACC
答え: rm = 9 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (7.9% − 3.5%)/0.8 = 5.5%
8.CAPM と WACC
答え: re = 12.95 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 1.2·(1 + 0.75·1) = 2.1
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 2.1·4.5% = 12.95%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 6500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
必要な税引前利益
24 000/(1 − 0.2) = €30 000
必要な販売量
Q = (48 000 + 30 000)/12 = 6 500
10.損益分岐点分析
答え: MS = 28.57 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 4 000/5 = 800
安全余裕率
MS = (1 120 − 800)/1 120·100 = 28.57%