1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 24%、四半期複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 24%m = 4
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
28 年間、毎月末に €250 を積み立てます。口座の利率は年 6%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €2506% / 12N = 336
FV = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €40 000、耐用年数は 8 年、運転費は毎年 €1 000（各年末に支払い）です。資本コストは 12% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €40 000M = €1 000n = 8r = 12%
EAC = €
4.NPV と IRRむずかしい
€80 000 の投資が 6 年間、毎年末に €18 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €80 000CF = €18 000n = 6
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 13 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 4% のとき €1 300 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 13P = €1 300YTM = 4%
c = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 4 年後に満期を迎え、€915 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 4P = €915
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 6%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €2 000 000D = €6 000 000re = 13%rd = 6%T = 25%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 1 000 000 株で、€26.00 で取引されています。株主資本の簿価は €13 000 000 です。1 株あたり €1.10 の配当を支払ったところで、配当は年 2% 成長します。負債の時価は €15 600 000、税引前コストは 3% です。税率は 25.8% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 1 000 000P0 = €26.00株主資本の簿価 = €13 000 000D0 = €1.10g = 2%D = €15 600 000rd = 3%T = 25.8%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €26 で売られ、変動費は 1 個あたり €18 です。固定費は月 €6 400 です。月 €2 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €6 400p = €26v = €18利益 = €2 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は 1 880 個を各 €23 で販売しており、1 個あたりの変動費は €8、固定費は €22 500 です。販売量が 12% 減少すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？
Q = 1 880p = €23v = €8F = €22 500%ΔQ = −12%
%ΔΠ = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 26.25 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.06)4 − 1 = 1.262 − 1 = 26.25%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 217157 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·28 = 336
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 250·(5.343 − 1)/0.005 = €217 157.12
自分で払い込んだのは €84 000。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: EAC = 9052 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.12−8)/0.12 = 4.968
EAC
EAC = 8 052.11 + 1 000 = €9 052.11
4.NPV と IRR
答え: IRR = 9.312 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−6)/i = 80 000/18 000 = 4.444
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 9%: 4.486
i = 10%: 4.355
IRR = 9.312%
5.債券の価格と利回り
答え: c = 7.004 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.04)−13 = €600.57
クーポン
C = (1300 − 600.57)/9.986 = €70.04
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 7.54 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€915 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
数値的に解く
P(7%) = €932.26, P(8%) = €900.64
YTM = 7.54%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.625 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €8 000 000, E/V = 0.25, D/V = 0.75
WACC
WACC = 0.25·13% + 0.75·6%·(1 − 0.25) = 6.625%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 4.782 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 1.1·1.02 = €1.12
re = 1.122/26 + 0.02 = 6.315%
時価
E = 1 000 000·€26.00 = €26 000 000
V = €41 600 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375
WACC
WACC = 0.625·6.315% + 0.375·3%·(1 − 0.258) = 4.782%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 1050 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (6 400 + 2 000)/8 = 1 050
10.損益分岐点分析
答え: %ΔΠ = −59.37 %
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益と利益
CM = 1 880·15 = €28 200
Π = 28 200 − 22 500 = €5 700
DOL
DOL = 28 200/5 700 = 4.947
利益の変化
%ΔΠ = 4.947·(−12%) = −59.37%
確認：新しい利益 = 1 654·15 − 22 500 = €2 316.00。