1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
8 年後に €25 000 が必要です。口座の利率は年 5%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €25 0005% / 4n = 8
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
4 年後に €25 000 が欲しいとします。年 4.8%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。
FV = €25 0004.8% / 12N = 48
A = €
3.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€8 000, €8 000, €8 000, €7 000。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 8%CF0 = −20 000CF1 = 8 000CF2 = 8 000CF3 = 8 000CF4 = 7 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
€40 000 の投資が 3 年間、毎年末に €14 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €40 000CF = €14 000n = 3
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りが 7% から 9% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 7y1 = 7%y2 = 9%
ΔP = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 7 年後に満期を迎え、€940 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 7P = €940
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €12 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 6%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €12 000 000D = €3 000 000re = 9%rd = 6%T = 20%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €30.00 の株式 4 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 25% です。株式のベータは 1.8、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 8% です。WACC を求めなさい。
β = 1.8rf = 1.5%rm = 8%rd = 5%T = 25%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €15 000、1 個あたりの変動費が €20 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €16 500、1 個あたりの変動費が €17 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？
FA = €15 000vA = €20FB = €16 500vB = €17
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は 7 500 個を各 €30 で販売しており、1 個あたりの変動費は €25、固定費は €25 000 です。販売量が 5% 増加すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？
Q = 7 500p = €30v = €25F = €25 000%ΔQ = +5%
%ΔΠ = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 16800 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.05/4 = 0.0125
N = 4·8 = 32
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1.488 = €16 799.60
2.貨幣の時間価値
答え: A = 473.5 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·4 = 48
積立額
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 25 000·0.004/(1.211 − 1) = €473.47
3.NPV と IRR
答え: NPV = 5762 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.08)1 = 8 000/1.08 = 7 407.41
CF2/(1 + 0.08)2 = 8 000/1.166 = 6 858.71
CF3/(1 + 0.08)3 = 8 000/1.26 = 6 350.66
CF4/(1 + 0.08)4 = 7 000/1.36 = 5 145.21
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 2.48 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−3)/i = 40 000/14 000 = 2.857
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 2%: 2.884
i = 3%: 2.829
IRR = 2.48%
5.債券の価格と利回り
答え: ΔP = −91.75 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €45.00, i = 0.07, N = 7
€45.00·(1 − 0.6227)/0.07 + €1 000·0.6227 = €242.52 + €622.75 = €865.27
新しい利回りでの価格
C = €45.00, i = 0.09, N = 7
€45.00·(1 − 0.547)/0.09 + €1 000·0.547 = €226.48 + €547.03 = €773.52
変化
ΔP = 773.52 − 865.27 = −€91.75
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.038 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€940 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
数値的に解く
P(5%) = €942.14, P(6%) = €888.35
YTM = 5.038%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.16 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €15 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2
WACC
WACC = 0.8·9% + 0.2·6%·(1 − 0.2) = 8.16%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 12.8 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 4 000 000·€30.00 = €120 000 000
D = 5 000·€1 050 = €5 250 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 1.5% + 1.8·6.5% = 13.2%
ウェイト
V = €125 250 000, E/V = 0.9581, D/V = 0.04192
WACC
WACC = 0.9581·13.2% + 0.04192·5%·(1 − 0.25) = 12.8%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
総費用が等しい
15 000 + 20Q = 16 500 + 17Q
Q について解く
Q = (16 500 − 15 000)/(20 − 17) = 500
この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。
10.損益分岐点分析
答え: %ΔΠ = 15 %
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益と利益
CM = 7 500·5 = €37 500
Π = 37 500 − 25 000 = €12 500
確認：新しい利益 = 7 875·5 − 25 000 = €14 375.00。