1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€10 000 を年 3%、連続複利で投資します。11 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €10 000r = 3%t = 11
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
30 年間、毎月末に €100 を積み立てます。口座の利率は年 6%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €1006% / 12N = 360
FV = €
3.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€12 000, €11 000, €22 000, €22 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 12%CF0 = −45 000CF1 = 12 000CF2 = 11 000CF3 = 22 000CF4 = 22 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €5 500, €6 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 6 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 4% のときに、残存期間 3 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 8%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 3.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 3y0 = 4%y1 = 3.5%
HPR = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €960 で取引され、最終利回りは 7%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 6.1 年です。利回りが 150 ベーシスポイント低下した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €960y = 7%D = 6.1Δy = −150 bp
P = €
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 0.6 です。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 7%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
D/E = 0.6re = 10%rd = 7%T = 20%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €11.00 の株式 1 000 000 株と、1 口 €1 020 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 28% です。株式のベータは 0.6、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 6% です。WACC を求めなさい。
β = 0.6rf = 1.5%rm = 6%rd = 5%T = 28%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €10 で売られ、変動費は 1 個あたり €8 です。固定費は月 €10 000 です。月 €10 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €10 000p = €10v = €8利益 = €10 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €17 で売られ、変動費は 1 個あたり €12、固定費は年 €25 000 です。予算販売量は 5 750 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €25 000p = €17v = €12予算 = 5 750
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 13910 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.03·11 = 0.33
e0.33 = 1.391
将来価値
FV = 10 000·1.391 = €13 909.68
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 100452 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·30 = 360
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 100·(6.023 − 1)/0.005 = €100 451.50
自分で払い込んだのは €36 000。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: NPV = 4124 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 12 000/1.12 = 10 714.29
CF2/(1 + 0.12)2 = 11 000/1.254 = 8 769.13
CF3/(1 + 0.12)3 = 22 000/1.405 = 15 659.17
CF4/(1 + 0.12)4 = 22 000/1.574 = 13 981.40
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 12.68 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(10%) = 371.90
NPV(15%) = −302.46
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 10 + 5·371.90/(371.90 − (−302.46)) = 12.76%
正確な値: NPV(12.68%) = 0 → IRR = 12.68%
5.債券の価格と利回り
答え: HPR = 4.904 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €80.00, i = 0.04, N = 3
€80.00·(1 − 0.889)/0.04 + €1 000·0.889 = €222.01 + €889.00 = €1 111.00
売却価格
C = €80.00, i = 0.035, N = 2
€80.00·(1 − 0.9335)/0.035 + €1 000·0.9335 = €151.98 + €933.51 = €1 085.49
保有期間利回り
HPR = (80 + 1 085.49 − 1 111.00)/1 111.00 = 4.904%
6.債券の価格と利回り
答え: P = 1042 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −5.701·(−0.015) = 8.551%
P ≈ 960·(1 + 0.08551) = €1 042.09
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.35 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 0.6) = 0.625
D/V = 0.6/(1 + 0.6) = 0.375
WACC
WACC = 0.625·10% + 0.375·7%·(1 − 0.2) = 8.35%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 3.911 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€11.00 = €11 000 000
D = 10 000·€1 020 = €10 200 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 1.5% + 0.6·4.5% = 4.2%
ウェイト
V = €21 200 000, E/V = 0.5189, D/V = 0.4811
WACC
WACC = 0.5189·4.2% + 0.4811·5%·(1 − 0.28) = 3.911%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 10000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (10 000 + 10 000)/2 = 10 000
10.損益分岐点分析
答え: MS = 13.04 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 25 000/5 = 5 000
安全余裕率
MS = (5 750 − 5 000)/5 750·100 = 13.04%