1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €5 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 2% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 8% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €5 000g = 2%r = 8%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€150 000 のローンを 20 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.8%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €150 0004.8% / 12N = 240
A = €
3.NPV と IRRふつう
€60 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€27 000, €20 000, €23 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 12%CF0 = −60 000CF1 = 27 000CF2 = 20 000CF3 = 23 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
€50 000 の投資が 9 年間、毎年末に €12 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €50 000CF = €12 500n = 9
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 5 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 7% のとき €836 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 5P = €836YTM = 7%
c = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは 6% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 5YTM = 6%
D = 年
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €12 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。
E = €12 000 000D = €5 000 000re = 9%rd = 3.5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 2 000 000 株で、€41.00 で取引されています。株主資本の簿価は €32 800 000 です。1 株あたり €1.50 の配当を支払ったところで、配当は年 5% 成長します。負債の時価は €24 600 000、税引前コストは 4% です。税率は 21% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 2 000 000P0 = €41.00株主資本の簿価 = €32 800 000D0 = €1.50g = 5%D = €24 600 000rd = 4%T = 21%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €30 で売られ、変動費は 1 個あたり €20 です。固定費は月 €8 000 です。月 €6 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €8 000p = €30v = €20利益 = €6 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €28 で売られ、変動費は 1 個あたり €25、固定費は年 €3 000 です。予算販売量は 1 500 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €3 000p = €28v = €25予算 = 1 500
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 83333 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 5 000/(0.08 − 0.02) = 5 000/0.06 = €83 333.33
2.貨幣の時間価値
答え: A = 973.4 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·20 = 240
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.3836
A = 150 000·0.004/(1 − 0.3836) = €973.44
3.NPV と IRR
答え: NPV = −3578 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 27 000/1.12 = 24 107.14
CF2/(1 + 0.12)2 = 20 000/1.254 = 15 943.88
CF3/(1 + 0.12)3 = 23 000/1.405 = 16 370.95
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 20.24 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−9)/i = 50 000/12 500 = 4
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 20%: 4.031
i = 21%: 3.905
IRR = 20.24%
5.債券の価格と利回り
答え: c = 3 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.07)−5 = €712.99
クーポン
C = (836 − 712.99)/4.1 = €30.00
6.債券の価格と利回り
答え: D = 4.611 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 40/1.06 = 37.74, t·PV = 37.74
t = 2: 40/1.124 = 35.60, t·PV = 71.20
t = 3: 40/1.191 = 33.58, t·PV = 100.75
t = 4: 40/1.262 = 31.68, t·PV = 126.73
t = 5: 1040/1.338 = 777.15, t·PV = 3 885.74
デュレーション
P = 915.75
D = 4 222.17/915.75 = 4.611
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.166 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €17 000 000, E/V = 0.7059, D/V = 0.2941
WACC
WACC = 0.7059·9% + 0.2941·3.5%·(1 − 0.21) = 7.166%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.53 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 1.5·1.05 = €1.58
re = 1.575/41 + 0.05 = 8.841%
時価
E = 2 000 000·€41.00 = €82 000 000
V = €106 600 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308
WACC
WACC = 0.7692·8.841% + 0.2308·4%·(1 − 0.21) = 7.53%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 1400 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (8 000 + 6 000)/10 = 1 400
10.損益分岐点分析
答え: MS = 33.33 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 3 000/3 = 1 000
安全余裕率
MS = (1 500 − 1 000)/1 500·100 = 33.33%