1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €5 000 を 5 年間支払います。利率は年 5% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €5 000i = 5%n = 5
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€12 000 のローンを 5 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.2%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €12 0004.2% / 12N = 60
A = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €50 000 です。4 年間、毎年末に €12 500 を生み、その後 €5 000 で売却できます。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €50 000CF = €12 500S = €5 000n = 4r = 6%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は €25 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €9 000, €9 000, €8 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 6% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
r = 6%CF0 = −25 000CF1 = 9 000CF2 = 9 000CF3 = 8 000
MIRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 11 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 5.5% のとき €919 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 11P = €919YTM = 5.5%
c = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 9 年後に満期を迎え、€1 120 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 9P = €1 120
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €12 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 11%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €12 000 000D = €3 000 000re = 11%rd = 4.5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €9.50 の株式 5 000 000 株と、1 口 €1 020 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 21% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 1%、市場収益率は 8% です。WACC を求めなさい。
β = 1.3rf = 1%rm = 8%rd = 4.5%T = 21%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €35 で売られ、変動費は 1 個あたり €25 です。固定費は月 €40 000 です。月 €10 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €40 000p = €35v = €25利益 = €10 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は月に 1 250 個を各 €31 で販売しており、1 個あたりの変動費は €25、固定費は月 €3 000 です。1 個あたりの変動費が €3 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？
Q = 1 250p = €31v = €25 → €28F = €3 000
Q = 個
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 21647 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.7835)/0.05 = 4.329
現在価値
PV = 5 000·4.329 = €21 647.38
2.貨幣の時間価値
答え: A = 222.1 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·5 = 60
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.8109
A = 12 000·0.0035/(1 − 0.8109) = €222.08
3.NPV と IRR
答え: NPV = −2726 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −50 000 + 43 313.82 + 3 960.47 = −€2 725.71
4.NPV と IRR
答え: MIRR = 3.418 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入の終価
9 000·1.062 = 10 112.40
9 000·1.061 = 9 540.00
8 000·1.060 = 8 000.00
TV = 27 652.40
MIRR
MIRR = (27 652.40/25 000)1/3 − 1 = 3.418%
5.債券の価格と利回り
答え: c = 4.499 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.055)−11 = €554.91
クーポン
C = (919 − 554.91)/8.093 = €44.99
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 2.495 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 120 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数値的に解く
P(2%) = €1 163.24, P(3%) = €1 077.86
YTM = 2.495%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.475 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €15 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2
WACC
WACC = 0.8·11% + 0.2·4.5%·(1 − 0.25) = 9.475%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.134 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 5 000 000·€9.50 = €47 500 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
ウェイト
V = €67 900 000, E/V = 0.6996, D/V = 0.3004
WACC
WACC = 0.6996·10.1% + 0.3004·4.5%·(1 − 0.21) = 8.134%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 5000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (40 000 + 10 000)/10 = 5 000
10.損益分岐点分析
答え: Q = 2500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
現在の利益
Π = 1 250·(31 − 25) − 3 000 = €4 500
同じ利益に必要な個数
Q = (3 000 + 4 500)/3 = 2 500