1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 6%、四半期複利で €12 000 を投資します。2 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €12 0006% / 4n = 2
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
25 年間、毎月末に €250 を積み立てます。口座の利率は年 4.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €2504.2% / 12N = 300
FV = €
3.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€11 000, €7 000, €9 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −30 000CF1 = 11 000CF2 = 7 000CF3 = 9 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
€80 000 の投資が 4 年間、毎年末に €23 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €80 000CF = €23 000n = 4
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 6% のクーポンを支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りが 3% から 1% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 7y1 = 3%y2 = 1%
ΔP = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 3% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、9 年後に満期を迎えます。価格は €736 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3% (2×)n = 9P = €736
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 0.5 です。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 3%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。
D/E = 0.5re = 13%rd = 3%T = 21%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 5 000 000 株で、€57.50 で取引されています。株主資本の簿価は €115 000 000 です。1 株あたり €3.00 の配当を支払ったところで、配当は年 4% 成長します。負債の時価は €287 500 000、税引前コストは 5% です。税率は 25% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 5 000 000P0 = €57.50株主資本の簿価 = €115 000 000D0 = €3.00g = 4%D = €287 500 000rd = 5%T = 25%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €30 000、1 個あたりの変動費が €15 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €32 000、1 個あたりの変動費が €13 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？
FA = €30 000vA = €15FB = €32 000vB = €13
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €32 で売られ、変動費は 1 個あたり €12、固定費は年 €100 000 です。予算販売量は 6 250 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €100 000p = €32v = €12予算 = 6 250
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 13518 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.06/4 = 0.015
N = m·n = 4·2 = 8
将来価値
FV = 12 000·(1 + 0.015)8 = 12 000·1.126 = €13 517.91
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 132316 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·25 = 300
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 250·(2.852 − 1)/0.0035 = €132 315.51
自分で払い込んだのは €75 000。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: NPV = −5836 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 11 000/1.06 = 10 377.36
CF2/(1 + 0.06)2 = 7 000/1.124 = 6 229.98
CF3/(1 + 0.06)3 = 9 000/1.191 = 7 556.57
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 5.835 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−4)/i = 80 000/23 000 = 3.478
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 5%: 3.546
i = 6%: 3.465
IRR = 5.835%
5.債券の価格と利回り
答え: ΔP = 149.5 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €60.00, i = 0.03, N = 7
€60.00·(1 − 0.8131)/0.03 + €1 000·0.8131 = €373.82 + €813.09 = €1 186.91
新しい利回りでの価格
C = €60.00, i = 0.01, N = 7
€60.00·(1 − 0.9327)/0.01 + €1 000·0.9327 = €403.69 + €932.72 = €1 336.41
変化
ΔP = 1 336.41 − 1 186.91 = €149.50
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 7.004 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.457 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667
D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·13% + 0.3333·3%·(1 − 0.21) = 9.457%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.588 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 3·1.04 = €3.12
re = 3.12/57.5 + 0.04 = 9.426%
時価
E = 5 000 000·€57.50 = €287 500 000
V = €575 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·9.426% + 0.5·5%·(1 − 0.25) = 6.588%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 1000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
総費用が等しい
30 000 + 15Q = 32 000 + 13Q
Q について解く
Q = (32 000 − 30 000)/(15 − 13) = 1 000
この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。
10.損益分岐点分析
答え: MS = 20 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 100 000/20 = 5 000
安全余裕率
MS = (6 250 − 5 000)/6 250·100 = 20%