コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

6 年後に €25 000 が必要です。口座の利率は年 5%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €25 0005% / 4n = 6

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€200 000 のローンを 25 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €200 0003% / 12N = 300

A = €

3.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €30 000 で、1 年目から 5 年目の各年末に €9 500, €10 000, €11 000, €12 500, €8 500 を生みます。資本コストは 5% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 9 500CF₂ = 10 000CF₃ = 11 000CF₄ = 12 500CF₅ = 8 500

DPB = 年

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €14 500, €18 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −25 000CF₁ = 14 500CF₂ = 18 000

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 6% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、10 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 6%YTM = 2.5%n = 10

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは 7% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4%n = 4YTM = 7%

D = 年

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 3%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。

E = €4 000 000D = €4 000 000r_e = 9%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1.1 です。負債資本比率を 1.5 にする計画です。税率は 30%、無リスク金利は 3.5%、市場リスクプレミアムは 5.5% です。新しい資本構成での株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_U = 1.1D/E = 1.5T = 30%r_f = 3.5%r_m − r_f = 5.5%

r_e = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品の単価は €35、1 個あたりの変動費は €15 です。固定費は月 €40 000 で、利益には 20% の税金がかかります。税引後で €20 000 を稼ぐには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

p = €35v = €15F = €40 000T = 20%税引後利益 = €20 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある製品は 1 個 €45 で売られ、変動費は 1 個あたり €30、固定費は年 €60 000 です。予算販売量は 6 000 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。

F = €60 000p = €45v = €30予算 = 6 000

MS = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 18555 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.05/4 = 0.0125

N = 4·6 = 24

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1.347 = €18 554.93

答え

PV = €18 554.93

2.貨幣の時間価値

答え: A = 948.4 €

月利と返済回数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·25 = 300

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.4728

A = 200 000·0.0025/(1 − 0.4728) = €948.42

答え

A = €948.42

3.NPV と IRR

答え: DPB = 3.231 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 9 500/1.05 = 9 047.62 → Σ = 9 047.62

年度 2: 10 000/1.103 = 9 070.29 → Σ = 18 117.91

年度 3: 11 000/1.158 = 9 502.21 → Σ = 27 620.13

年度 4: 12 500/1.216 = 10 283.78 → Σ = 37 903.91

最後の年の端数

DPB = 3 + 2 379.87/10 283.78 = 3.231

答え

DPB = 3.231 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（2.955 年）より長くなります。

4.NPV と IRR

答え: IRR = 18.67 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(15%) = 1 219.28

NPV(20%) = −416.67

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 15 + 5·1 219.28/(1 219.28 − (−416.67)) = 18.73%

正確な値: NPV(18.67%) = 0 → IRR = 18.67%

答え

IRR = 18.67%

5.債券の価格と利回り

答え: P = 1308 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €30.00, i = 0.0125, N = 20

クーポンの現在価値

€30.00·(1 − 0.78)/0.0125 = €527.98

額面の現在価値

€1 000·0.78 = €780.01

価格

P = €1 307.99

答え

P = €1 307.99

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: D = 3.761 年

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各キャッシュフローの現在価値

t = 1: 40/1.07 = 37.38, t·PV = 37.38

t = 2: 40/1.145 = 34.94, t·PV = 69.88

t = 3: 40/1.225 = 32.65, t·PV = 97.96

t = 4: 1040/1.311 = 793.41, t·PV = 3 173.64

デュレーション

P = 898.38

D = 3 378.86/898.38 = 3.761

答え

D = 3.761 年

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 5.685 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €8 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·9% + 0.5·3%·(1 − 0.21) = 5.685%

答え

WACC = 5.685%

8.CAPM と WACC

答え: r_e = 15.9 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

レバードベータ

β_L = 1.1·(1 + 0.7·1.5) = 2.255

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3.5% + 2.255·5.5% = 15.9%

答え

r_e = 15.9%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 3250 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

必要な税引前利益

20 000/(1 − 0.2) = €25 000

必要な販売量

Q = (40 000 + 25 000)/20 = 3 250

答え

Q = 3 250 個

10.損益分岐点分析

答え: MS = 33.33 %

損益分岐点販売量

Q = F/(p − v) = 60 000/15 = 4 000

安全余裕率

MS = (6 000 − 4 000)/6 000·100 = 33.33%

答え

MS = 33.33%

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