1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €12 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 2.5% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 5.5% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €12 000g = 2.5%r = 5.5%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
10 年間、毎年初めに €2 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 7% です。10 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €2 000i = 7%n = 10
FV = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €60 000 です。6 年間、毎年末に €12 500 を生み、その後 €15 000 で売却できます。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €60 000CF = €12 500S = €15 000n = 6r = 10%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
€10 000 の投資が 6 年間、毎年末に €3 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €10 000CF = €3 000n = 6
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 3% のクーポンを支払い、10 年後に満期を迎えます。最終利回りが 3.5% から 5.5% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 10y1 = 3.5%y2 = 5.5%
ΔP = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
残存期間 15 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%）が €1 173 で売られています。発行者は 5 年後に €1 050 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%P = €1 173繰上償還価格 = €1 050繰上償還まで 5 年
YTC = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €5 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 11%、税引前負債コストは 4%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
E = €5 000 000D = €4 000 000re = 11%rd = 4%T = 28%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.9 です。負債資本比率を 1.5 にする計画です。税率は 25.8%、無リスク金利は 1%、市場リスクプレミアムは 5% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 0.9D/E = 1.5T = 25.8%rf = 1%rm − rf = 5%
re = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €8 で売られ、変動費は 1 個あたり €6 です。固定費は月 €8 000 です。月 €5 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €8 000p = €8v = €6利益 = €5 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €28 で売られ、変動費は 1 個あたり €20、固定費は年 €32 000 です。予算販売量は 5 000 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €32 000p = €28v = €20予算 = 5 000
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 400000 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 12 000/(0.055 − 0.025) = 12 000/0.03 = €400 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 29567 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.07)10 − 1)/0.07 = 13.82
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 2 000·13.82·1.07 = €29 567.20
3.NPV と IRR
答え: NPV = 2908 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −60 000 + 54 440.76 + 8 467.11 = €2 907.87
4.NPV と IRR
答え: IRR = 19.91 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−6)/i = 10 000/3 000 = 3.333
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 19%: 3.41
i = 20%: 3.326
IRR = 19.91%
5.債券の価格と利回り
答え: ΔP = −146.9 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €30.00, i = 0.035, N = 10
€30.00·(1 − 0.7089)/0.035 + €1 000·0.7089 = €249.50 + €708.92 = €958.42
新しい利回りでの価格
C = €30.00, i = 0.055, N = 10
€30.00·(1 − 0.5854)/0.055 + €1 000·0.5854 = €226.13 + €585.43 = €811.56
変化
ΔP = 811.56 − 958.42 = −€146.86
6.債券の価格と利回り
答え: YTC = 2.258 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
1173 = 50·(1 − (1 + y)−5)/y + 1050/(1 + y)5
数値的に解く
y = 2%: €1 186.69
y = 3%: €1 134.72
YTC = 2.258%
最終利回りは 3.498% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.391 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €9 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444
WACC
WACC = 0.5556·11% + 0.4444·4%·(1 − 0.28) = 7.391%
8.CAPM と WACC
答え: re = 10.51 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 0.9·(1 + 0.742·1.5) = 1.902
株主資本コスト（CAPM）
re = 1% + 1.902·5% = 10.51%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 6500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (8 000 + 5 000)/2 = 6 500
10.損益分岐点分析
答え: MS = 20 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 32 000/8 = 4 000
安全余裕率
MS = (5 000 − 4 000)/5 000·100 = 20%