コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 4.8%、月複利で €3 000 を投資します。9 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €3 0004.8% / 12n = 9

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€25 000 のローンを、年 3%、月複利で 6 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？

P = €25 0003% / 12N = 72

I = €

3.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €30 000 で、5 年間、毎年末に €9 000 を生みます。資本コストは 12% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 9 000CF₂ = 9 000CF₃ = 9 000CF₄ = 9 000CF₅ = 9 000

DPB = 年

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €34 000, €26 000, €34 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −50 000CF₁ = 34 000CF₂ = 26 000CF₃ = 34 500

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 4% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 4%n = 7

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 10 年後に満期を迎え、€820 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4%n = 10P = €820

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €6 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。

E = €6 000 000D = €2 000 000r_e = 10%r_d = 3.5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €9.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 30% です。株式のベータは 0.9、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。

β = 0.9r_f = 2.5%r_m = 8.5%r_d = 3.5%T = 30%

WACC = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある会社は 3 000 個を各 €23 で販売しています。1 個あたりの変動費は €8、固定費は €18 000 です。この販売水準での営業レバレッジ度 DOL を求めなさい。

Q = 3 000p = €23v = €8F = €18 000

DOL =

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は 2 つの製品を販売しています。製品 A の単価は €16、変動費は €12、製品 B の単価は €38、変動費は €30 です。両製品は A 2 個に対して B 1 個の一定の構成比で売れます。固定費は月 €6 400 です。損益分岐点に必要な総販売個数 Q（A と B の合計）を求めなさい。

p_A = €16, v_A = €12p_B = €38, v_B = €30A : B = 2 : 1F = €6 400

Q = 個

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 4617 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.048/12 = 0.004

N = m·n = 12·9 = 108

将来価値

FV = 3 000·(1 + 0.004)¹⁰⁸ = 3 000·1.539 = €4 617.03

答え

FV = €4 617.03

2.貨幣の時間価値

答え: I = 2349 €

毎月の返済額

i = 0.0025, N = 72

A = 25 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)⁻⁷²) = €379.84

利息の総額

I = N·A − P = 72·379.8 − 25 000 = €2 348.62

答え

I = €2 348.62

3.NPV と IRR

答え: DPB = 4.522 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 9 000/1.12 = 8 035.71 → Σ = 8 035.71

年度 2: 9 000/1.254 = 7 174.74 → Σ = 15 210.46

年度 3: 9 000/1.405 = 6 406.02 → Σ = 21 616.48

年度 4: 9 000/1.574 = 5 719.66 → Σ = 27 336.14

年度 5: 9 000/1.762 = 5 106.84 → Σ = 32 442.99

最後の年の端数

DPB = 4 + 2 663.86/5 106.84 = 4.522

答え

DPB = 4.522 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.333 年）より長くなります。

4.NPV と IRR

答え: IRR = 40.2 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(40%) = 123.91

NPV(45%) = −2 868.92

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 40 + 5·123.91/(123.91 − (−2 868.92)) = 40.21%

正確な値: NPV(40.2%) = 0 → IRR = 40.2%

答え

IRR = 40.2%

5.債券の価格と利回り

答え: P = 878.9 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €10.00, i = 0.02, N = 14

クーポンの現在価値

€10.00·(1 − 0.7579)/0.02 = €121.06

額面の現在価値

€1 000·0.7579 = €757.88

価格

P = €878.94

答え

P = €878.94

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 6.504 %

利回りの方程式

€820 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数値的に解く

P(6%) = €852.80, P(7%) = €789.29

YTM = 6.504%

答え

YTM = 6.504%

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.113 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €8 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.75·10% + 0.25·3.5%·(1 − 0.3) = 8.113%

答え

WACC = 8.113%

8.CAPM と WACC

答え: WACC = 3.513 %

時価

E = 1 000 000·€9.50 = €9 500 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2.5% + 0.9·6% = 7.9%

ウェイト

V = €48 700 000, E/V = 0.1951, D/V = 0.8049

WACC

WACC = 0.1951·7.9% + 0.8049·3.5%·(1 − 0.3) = 3.513%

答え

WACC = 3.513%

9.損益分岐点分析

答え: DOL = 1.667

営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。

貢献利益の合計

CM = 3 000·(23 − 8) = €45 000

営業利益

Π = 45 000 − 18 000 = €27 000

DOL

DOL = 45 000/27 000 = 1.667

答え

DOL = 1.667

10.損益分岐点分析

答え: Q = 1200 個

販売構成比がある場合の損益分岐点：製品が一定の比率で売れるときは、加重平均貢献利益を使います：各製品の p − v を個数の割合で重み付けします。損益分岐点販売量 = F/（加重貢献利益）で、それを再び構成比で分けます。

貢献利益

cm_A = €4, cm_B = €8

加重貢献利益

(2·4 + 1·8)/3 = €5.33

損益分岐点販売量

Q = 6 400/5.333 = 1 200

A: 800, B: 400

答え

Q = 1 200 個

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