1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
6 年後に €10 000 が必要です。口座の利率は年 3.6%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €10 0003.6% / 4n = 6
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€10 000 のローンを、年 5.4%、月複利で 6 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €10 0005.4% / 12N = 72
I = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €30 000、耐用年数は 7 年、運転費は毎年 €4 000（各年末に支払い）です。資本コストは 12% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €30 000M = €4 000n = 7r = 12%
EAC = €
4.NPV と IRRむずかしい
€25 000 の投資が 3 年間、毎年末に €10 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €25 000CF = €10 500n = 3
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 6% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%YTM = 3.5%n = 5
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 10 年後に満期を迎え、€1 170 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 10P = €1 170
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €10 000 000、負債の価値は €4 000 000 です。WACC は 9.84%、税引前負債コストは 6%、税率は 25.8% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €10 000 000D = €4 000 000WACC = 9.84%rd = 6%T = 25.8%
re = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €24.50 の株式 5 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 3%、税率は 30% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 1%、市場収益率は 5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.2rf = 1%rm = 5%rd = 3%T = 30%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €25 000、1 個あたりの変動費が €12 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €37 000、1 個あたりの変動費が €6 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？
FA = €25 000vA = €12FB = €37 000vB = €6
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €27 で売られ、変動費は 1 個あたり €25、固定費は年 €5 000 です。予算販売量は 2 880 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €5 000p = €27v = €25予算 = 2 880
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 8065 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.036000000000000004/4 = 0.009
N = 4·6 = 24
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1.24 = €8 065.14
2.貨幣の時間価値
答え: I = 1730 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0045, N = 72
A = 10 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)−72) = €162.91
利息の総額
I = N·A − P = 72·162.9 − 10 000 = €1 729.62
3.NPV と IRR
答え: EAC = 10574 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.12−7)/0.12 = 4.564
EAC
EAC = 6 573.53 + 4 000 = €10 573.53
4.NPV と IRR
答え: IRR = 12.51 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−3)/i = 25 000/10 500 = 2.381
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 12%: 2.402
i = 13%: 2.361
IRR = 12.51%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1114 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €30.00, i = 0.0175, N = 10
クーポンの現在価値
€30.00·(1 − 0.8407)/0.0175 = €273.04
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 3.006 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 170 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数値的に解く
P(3%) = €1 170.60, P(4%) = €1 081.11
YTM = 3.006%
7.CAPM と WACC
答え: re = 12 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €14 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857
WACC の負債の部分
0.2857·6%·(1 − 0.258) = 1.272%
株主資本コスト
re = (9.84% − 1.272%)/0.7143 = 12%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.648 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 5 000 000·€24.50 = €122 500 000
D = 5 000·€1 050 = €5 250 000
ウェイト
V = €127 750 000, E/V = 0.9589, D/V = 0.0411
WACC
WACC = 0.9589·5.8% + 0.0411·3%·(1 − 0.3) = 5.648%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 2000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
総費用が等しい
25 000 + 12Q = 37 000 + 6Q
Q について解く
Q = (37 000 − 25 000)/(12 − 6) = 2 000
この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。
10.損益分岐点分析
答え: MS = 13.19 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 5 000/2 = 2 500
安全余裕率
MS = (2 880 − 2 500)/2 880·100 = 13.19%