コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 5%、四半期複利で €3 000 を投資します。10 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €3 0005% / 4n = 10

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

27 年間、毎月末に €50 を積み立てます。口座の利率は年 5.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €505.4% / 12N = 324

FV = €

3.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €60 000 で、1 年目から 6 年目の各年末に €23 500, €18 000, €15 000, €18 000, €15 500, €16 000 を生みます。資本コストは 8% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 23 500CF₂ = 18 000CF₃ = 15 000CF₄ = 18 000CF₅ = 15 500CF₆ = 16 000

DPB = 年

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €15 000, €15 500, €21 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −40 000CF₁ = 15 000CF₂ = 15 500CF₃ = 21 500

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 8% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、8 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5.5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8%YTM = 5.5%n = 8

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

残存期間 13 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 8%）が €1 177 で売られています。発行者は 3 年後に €1 080 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8%P = €1 177繰上償還価格 = €1 080繰上償還まで 3 年

YTC = %

7.CAPM と WACCふつう

ある会社の負債資本比率（時価）は 1.5 です。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 4%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。

D/E = 1.5r_e = 8%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €31.00 の株式 2 500 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 21% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 4%、市場収益率は 10.5% です。WACC を求めなさい。

β = 1.1r_f = 4%r_m = 10.5%r_d = 3.5%T = 21%

WACC = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €8 で売られ、変動費は 1 個あたり €4 です。固定費は月 €4 800 です。月 €2 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €4 800p = €8v = €4利益 = €2 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は 2 つの製品を販売しています。製品 A の単価は €11、変動費は €8、製品 B の単価は €27、変動費は €15 です。両製品は A 4 個に対して B 1 個の一定の構成比で売れます。固定費は月 €4 800 です。損益分岐点に必要な総販売個数 Q（A と B の合計）を求めなさい。

p_A = €11, v_A = €8p_B = €27, v_B = €15A : B = 4 : 1F = €4 800

Q = 個

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 4931 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.05/4 = 0.0125

N = m·n = 4·10 = 40

将来価値

FV = 3 000·(1 + 0.0125)⁴⁰ = 3 000·1.644 = €4 930.86

答え

FV = €4 930.86

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 36481 €

月利と積立回数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·27 = 324

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(4.283 − 1)/0.0045 = €36 481.38

答え

FV = €36 481.38

自分で払い込んだのは €16 200。残りは利息です。

3.NPV と IRR

答え: DPB = 3.824 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 23 500/1.08 = 21 759.26 → Σ = 21 759.26

年度 2: 18 000/1.166 = 15 432.10 → Σ = 37 191.36

年度 3: 15 000/1.26 = 11 907.48 → Σ = 49 098.84

年度 4: 18 000/1.36 = 13 230.54 → Σ = 62 329.38

最後の年の端数

DPB = 3 + 10 901.16/13 230.54 = 3.824

答え

DPB = 3.824 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.194 年）より長くなります。

4.NPV と IRR

答え: IRR = 13.43 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(10%) = 2 599.55

NPV(15%) = −1 099.70

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 10 + 5·2 599.55/(2 599.55 − (−1 099.70)) = 13.51%

正確な値: NPV(13.43%) = 0 → IRR = 13.43%

答え

IRR = 13.43%

5.債券の価格と利回り

答え: P = 1160 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €40.00, i = 0.0275, N = 16

クーポンの現在価値

€40.00·(1 − 0.6479)/0.0275 = €512.18

額面の現在価値

€1 000·0.6479 = €647.87

価格

P = €1 160.06

答え

P = €1 160.06

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: YTC = 4.161 %

利回りの方程式

1177 = 80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1080/(1 + y)³

数値的に解く

y = 4%: €1 182.12

y = 5%: €1 150.80

YTC = 4.161%

答え

YTC = 4.161%

最終利回りは 6.001% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 4.88 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

D/E からの重み

E/V = 1/(1 + 1.5) = 0.4

D/V = 1.5/(1 + 1.5) = 0.6

WACC

WACC = 0.4·8% + 0.6·4%·(1 − 0.3) = 4.88%

答え

WACC = 4.88%

8.CAPM と WACC

答え: WACC = 10.23 %

時価

E = 2 500 000·€31.00 = €77 500 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 4% + 1.1·6.5% = 11.15%

ウェイト

V = €87 100 000, E/V = 0.8898, D/V = 0.1102

WACC

WACC = 0.8898·11.15% + 0.1102·3.5%·(1 − 0.21) = 10.23%

答え

WACC = 10.23%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 1700 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 8 − 4 = €4

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (4 800 + 2 000)/4 = 1 700

答え

Q = 1 700 個

10.損益分岐点分析

答え: Q = 1000 個

販売構成比がある場合の損益分岐点：製品が一定の比率で売れるときは、加重平均貢献利益を使います：各製品の p − v を個数の割合で重み付けします。損益分岐点販売量 = F/（加重貢献利益）で、それを再び構成比で分けます。

貢献利益

cm_A = €3, cm_B = €12

加重貢献利益

(4·3 + 1·12)/5 = €4.80

損益分岐点販売量

Q = 4 800/4.8 = 1 000

A: 800, B: 200

答え

Q = 1 000 個

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