コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

8 年後に €10 000 が必要です。口座の利率は年 3.6%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €10 0003.6% / 12n = 8

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

11 年間、毎月末に €200 を積み立てます。口座の利率は年 2.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €2002.4% / 12N = 132

FV = €

3.NPV と IRRふつう

€75 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€27 000, €36 000, €35 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 5%CF₀ = −75 000CF₁ = 27 000CF₂ = 36 000CF₃ = 35 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は €10 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €5 000, €4 000, €5 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 8% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。

r = 8%CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 4 000CF₃ = 5 000

MIRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 3% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 6% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 3%YTM = 6%n = 3

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 3% のクーポンを支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは 9% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 3%n = 6YTM = 9%

D = 年

7.CAPM と WACCふつう

ある会社は、価値 €6 000 000 の普通株、価値 €1 000 000 の優先株、価値 €4 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 10%、優先株のコストは 7%、税引前負債コストは 6% です。税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。

E = €6 000 000P_s = €1 000 000D = €4 000 000r_e = 10%r_p = 7%r_d = 6%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式は 5 000 000 株で、€57.50 で取引されています。株主資本の簿価は €86 300 000 です。1 株あたり €2.80 の配当を支払ったところで、配当は年 5% 成長します。負債の時価は €287 500 000、税引前コストは 4.5% です。税率は 25% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。

N = 5 000 000P₀ = €57.50株主資本の簿価 = €86 300 000D₀ = €2.80g = 5%D = €287 500 000r_d = 4.5%T = 25%

WACC = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €38 で売られ、変動費は 1 個あたり €30 です。固定費は月 €8 000 です。月 €2 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €8 000p = €38v = €30利益 = €2 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は 1 280 個を各 €30 で販売しており、1 個あたりの変動費は €15、固定費は €12 000 です。販売量が 15% 増加すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？

Q = 1 280p = €30v = €15F = €12 000%ΔQ = +15%

%ΔΠ = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 7501 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·8 = 96

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.333 = €7 500.85

答え

PV = €7 500.85

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 30178 €

月利と積立回数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·11 = 132

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1.302 − 1)/0.002 = €30 178.49

答え

FV = €30 178.49

自分で払い込んだのは €26 400。残りは利息です。

3.NPV と IRR

答え: NPV = 13602 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 27 000/1.05 = 25 714.29

CF₂/(1 + 0.05)² = 36 000/1.103 = 32 653.06

CF₃/(1 + 0.05)³ = 35 000/1.158 = 30 234.32

合計する

NPV = €13 601.66

答え

NPV = €13 601.66

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

4.NPV と IRR

答え: MIRR = 14.86 %

修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入の終価

5 000·1.08² = 5 832.00

4 000·1.08¹ = 4 320.00

5 000·1.08⁰ = 5 000.00

TV = 15 152.00

MIRR

MIRR = (15 152.00/10 000)^1/3 − 1 = 14.86%

答え

MIRR = 14.86%

5.債券の価格と利回り

答え: P = 918.7 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €15.00, i = 0.03, N = 6

クーポンの現在価値

€15.00·(1 − 0.8375)/0.03 = €81.26

額面の現在価値

€1 000·0.8375 = €837.48

価格

P = €918.74

答え

P = €918.74

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: D = 5.494 年

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各キャッシュフローの現在価値

t = 1: 30/1.09 = 27.52, t·PV = 27.52

t = 2: 30/1.188 = 25.25, t·PV = 50.50

t = 3: 30/1.295 = 23.17, t·PV = 69.50

t = 4: 30/1.412 = 21.25, t·PV = 85.01

t = 5: 30/1.539 = 19.50, t·PV = 97.49

t = 6: 1030/1.677 = 614.16, t·PV = 3 684.93

デュレーション

P = 730.84

D = 4 014.95/730.84 = 5.494

答え

D = 5.494 年

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.71 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = 6 000 000 + 1 000 000 + 4 000 000 = €11 000 000

E/V = 0.5455, P_s/V = 0.09091, D/V = 0.3636

WACC

WACC = 0.5455·10% + 0.09091·7% + 0.3636·6%·(1 − 0.258) = 7.71%

答え

WACC = 7.71%

8.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.744 %

株主資本コスト

D₁ = 2.8·1.05 = €2.94

r_e = 2.94/57.5 + 0.05 = 10.11%

時価

E = 5 000 000·€57.50 = €287 500 000

V = €575 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·10.11% + 0.5·4.5%·(1 − 0.25) = 6.744%

答え

WACC = 6.744%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 1250 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 38 − 30 = €8

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (8 000 + 2 000)/8 = 1 250

答え

Q = 1 250 個

10.損益分岐点分析

答え: %ΔΠ = 40 %

営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。

貢献利益と利益

CM = 1 280·15 = €19 200

Π = 19 200 − 12 000 = €7 200

DOL

DOL = 19 200/7 200 = 2.667

利益の変化

%ΔΠ = 2.667·(+15%) = +40%

答え

%ΔΠ = +40%

確認：新しい利益 = 1 472·15 − 12 000 = €10 080.00。

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