コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

3 年後に €40 000 が必要です。口座の利率は年 5%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €40 0005% / 4n = 3

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

13 年間、毎年初めに €2 500 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 4% です。13 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。

A = €2 500i = 4%n = 13

FV = €

3.NPV と IRRふつう

€60 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€24 000, €16 000, €23 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 24 000CF₂ = 16 000CF₃ = 23 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は今日 €100 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €9 000 で、10 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 4% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €100 000CF₁ = €9 000g = 4%n = 10r = 12%

NPV = €

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 5%n = 12

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、6 年後に満期を迎えます。価格は €812 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4% (2×)n = 6P = €812

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ベータ 0.9 の株式の要求収益率は 4.6% です。無リスク金利は 1% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 r_m はいくらですか？

β = 0.9r_e = 4.6%r_f = 1%

r_m = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €12.50 の株式 5 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 28% です。株式のベータは 0.9、無リスク金利は 4%、市場収益率は 10% です。WACC を求めなさい。

β = 0.9r_f = 4%r_m = 10%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €10 000、1 個あたりの変動費が €15 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €12 000、1 個あたりの変動費が €13 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？

F_A = €10 000v_A = €15F_B = €12 000v_B = €13

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は 1 500 個を各 €25 で販売しており、1 個あたりの変動費は €15、固定費は €10 000 です。販売量が 12% 増加すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？

Q = 1 500p = €25v = €15F = €10 000%ΔQ = +12%

%ΔΠ = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 34460 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.05/4 = 0.0125

N = 4·3 = 12

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.161 = €34 460.34

答え

PV = €34 460.34

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 43230 €

通常の年金係数

((1 + 0.04)¹³ − 1)/0.04 = 16.63

期首払い年金

各預け入れは 1 年長く運用されます。

FV = 2 500·16.63·1.04 = €43 229.78

答え

FV = €43 229.78

3.NPV と IRR

答え: NPV = −9445 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 24 000/1.12 = 21 428.57

CF₂/(1 + 0.12)² = 16 000/1.254 = 12 755.10

CF₃/(1 + 0.12)³ = 23 000/1.405 = 16 370.95

合計する

NPV = €−9 445.38

答え

NPV = €−9 445.38

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

4.NPV と IRR

答え: NPV = −41117 €

成長型年金の現在価値

((1.04)/(1.12))¹⁰ = 0.4766

PV = 9 000/(0.12 − 0.04)·(1 − 0.4766) = 58 882.61

NPV

NPV = 58 882.61 − 100 000 = −€41 117.39

答え

NPV = −€41 117.39

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

5.債券の価格と利回り

答え: P = 910.6 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €20.00, i = 0.025, N = 24

クーポンの現在価値

€20.00·(1 − 0.5529)/0.025 = €357.70

額面の現在価値

€1 000·0.5529 = €552.88

価格

P = €910.58

答え

P = €910.58

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 8.007 %

1 期あたり

C = €20.00, N = 12

数値的に解く

i = 4.004% 半年あたり

YTM

YTM = 2·4.004% = 8.007%

答え

YTM = 8.007%

7.CAPM と WACC

答え: r_m = 5 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

市場リスクプレミアム

r_m − r_f = (4.6% − 1%)/0.9 = 4%

市場収益率

r_m = 1% + 4% = 5%

答え

r_m = 5%

8.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.917 %

時価

E = 5 000 000·€12.50 = €62 500 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 4% + 0.9·6% = 9.4%

ウェイト

V = €67 500 000, E/V = 0.9259, D/V = 0.07407

WACC

WACC = 0.9259·9.4% + 0.07407·4%·(1 − 0.28) = 8.917%

答え

WACC = 8.917%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 1000 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

総費用が等しい

10 000 + 15Q = 12 000 + 13Q

Q について解く

Q = (12 000 − 10 000)/(15 − 13) = 1 000

答え

Q = 1 000 個

この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。

10.損益分岐点分析

答え: %ΔΠ = 36 %

営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。

貢献利益と利益

CM = 1 500·10 = €15 000

Π = 15 000 − 10 000 = €5 000

DOL

DOL = 15 000/5 000 = 3

利益の変化

%ΔΠ = 3·(+12%) = +36%

答え

%ΔΠ = +36%

確認：新しい利益 = 1 680·10 − 10 000 = €6 800.00。

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