コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 3%、月複利で €20 000 を投資します。10 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €20 0003% / 12n = 10

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

年 4.2%、月複利で €10 000 を借り、毎月末に €200 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。

P = €10 000A = €2004.2% / 12

N = 回

3.NPV と IRRふつう

€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€21 000, €15 000, €19 000, €20 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 21 000CF₂ = 15 000CF₃ = 19 000CF₄ = 20 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €36 000, €25 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −50 000CF₁ = 36 000CF₂ = 25 500

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 7% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 7%n = 12

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

残存期間 18 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 8%）が €1 156 で売られています。発行者は 4 年後に €1 080 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8%P = €1 156繰上償還価格 = €1 080繰上償還まで 4 年

YTC = %

7.CAPM と WACCふつう

ある会社の負債資本比率（時価）は 0.5 です。株主資本コストは 11%、税引前負債コストは 3%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。

D/E = 0.5r_e = 11%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1.2 です。負債資本比率を 1 にする計画です。税率は 28%、無リスク金利は 1%、市場リスクプレミアムは 7% です。新しい資本構成での株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_U = 1.2D/E = 1T = 28%r_f = 1%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €27 で売られ、変動費は 1 個あたり €12 です。固定費は月 €30 000 です。月 €12 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €30 000p = €27v = €12利益 = €12 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は月に 3 000 個を各 €22 で販売しており、1 個あたりの変動費は €18、固定費は月 €4 800 です。1 個あたりの変動費が €2 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？

Q = 3 000p = €22v = €18 → €20F = €4 800

Q = 個

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 26987 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.03/12 = 0.0025

N = m·n = 12·10 = 120

将来価値

FV = 20 000·(1 + 0.0025)¹²⁰ = 20 000·1.349 = €26 987.07

答え

FV = €26 987.07

2.貨幣の時間価値

答え: N = 56 回

年金の公式を変形する

i = 0.0035

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0.0035/200 = 0.825

対数を使って解く

N = −ln(0.825)/ln(1.004) = 55.06

返済回数を整数に切り上げる

55 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。

N = 56

答え

N = 56 回

3.NPV と IRR

答え: NPV = 19956 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 21 000/1.06 = 19 811.32

CF₂/(1 + 0.06)² = 15 000/1.124 = 13 349.95

CF₃/(1 + 0.06)³ = 19 000/1.191 = 15 952.77

CF₄/(1 + 0.06)⁴ = 20 000/1.262 = 15 841.87

合計する

NPV = €19 955.91

答え

NPV = €19 955.91

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

4.NPV と IRR

答え: IRR = 15.97 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(15%) = 586.01

NPV(20%) = −2 291.67

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 15 + 5·586.01/(586.01 − (−2 291.67)) = 16.02%

正確な値: NPV(15.97%) = 0 → IRR = 15.97%

答え

IRR = 15.97%

5.債券の価格と利回り

答え: P = 759.1 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €20.00, i = 0.035, N = 24

クーポンの現在価値

€20.00·(1 − 0.438)/0.035 = €321.17

額面の現在価値

€1 000·0.438 = €437.96

価格

P = €759.12

答え

P = €759.12

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: YTC = 5.404 %

利回りの方程式

1156 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1080/(1 + y)⁴

数値的に解く

y = 5%: €1 172.19

y = 6%: €1 132.67

YTC = 5.404%

答え

YTC = 5.404%

最終利回りは 6.504% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.133 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

D/E からの重み

E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667

D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·11% + 0.3333·3%·(1 − 0.2) = 8.133%

答え

WACC = 8.133%

8.CAPM と WACC

答え: r_e = 15.45 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

レバードベータ

β_L = 1.2·(1 + 0.72·1) = 2.064

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1% + 2.064·7% = 15.45%

答え

r_e = 15.45%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 2800 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 27 − 12 = €15

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (30 000 + 12 000)/15 = 2 800

答え

Q = 2 800 個

10.損益分岐点分析

答え: Q = 6000 個

現在の利益

Π = 3 000·(22 − 18) − 4 800 = €7 200

1 個あたりの新しい貢献利益

22 − 20 = €2

同じ利益に必要な個数

Q = (4 800 + 7 200)/2 = 6 000

答え

Q = 6 000 個

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