1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 22%、毎日複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 22%m = 365
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
16 年間、毎月末に €150 を積み立てます。口座の利率は年 3%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €1503% / 12N = 192
FV = €
3.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€15 000, €19 000, €11 000, €11 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −45 000CF1 = 15 000CF2 = 19 000CF3 = 11 000CF4 = 11 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €11 000, €7 500, €9 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 11 000CF2 = 7 500CF3 = 9 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 6 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 4% のとき €1 157 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 6P = €1 157YTM = 4%
c = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 8% のクーポンを支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは 3.5% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 6YTM = 3.5%
D = 年
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €5 000 000、負債の価値は €5 000 000 です。WACC は 7.05%、税引前負債コストは 3%、税率は 30% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €5 000 000D = €5 000 000WACC = 7.05%rd = 3%T = 30%
re = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €28.00 の株式 5 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 20% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 3%、市場収益率は 8% です。WACC を求めなさい。
β = 1.1rf = 3%rm = 8%rd = 4.5%T = 20%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある会社は 6 250 個を各 €30 で販売しています。1 個あたりの変動費は €18、固定費は €60 000 です。この販売水準での営業レバレッジ度 DOL を求めなさい。
Q = 6 250p = €30v = €18F = €60 000
DOL =
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €50 で売られ、変動費は 1 個あたり €45、固定費は年 €10 000 です。予算販売量は 2 500 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €10 000p = €50v = €45予算 = 2 500
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 24.6 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 期あたりの利率
r/m = 0.22/365 = 0.0006027
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.0006027)365 − 1 = 1.246 − 1 = 24.6%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 36906 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·16 = 192
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 150·(1.615 − 1)/0.0025 = €36 906.40
自分で払い込んだのは €28 800。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: NPV = 4010 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 15 000/1.06 = 14 150.94
CF2/(1 + 0.06)2 = 19 000/1.124 = 16 909.93
CF3/(1 + 0.06)3 = 11 000/1.191 = 9 235.81
CF4/(1 + 0.06)4 = 11 000/1.262 = 8 713.03
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 18.61 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(15%) = 1 153.94
NPV(20%) = −416.67
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 15 + 5·1 153.94/(1 153.94 − (−416.67)) = 18.67%
正確な値: NPV(18.61%) = 0 → IRR = 18.61%
5.債券の価格と利回り
答え: c = 6.995 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.04)−6 = €790.31
クーポン
C = (1157 − 790.31)/5.242 = €69.95
6.債券の価格と利回り
答え: D = 5.106 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 80/1.035 = 77.29, t·PV = 77.29
t = 2: 80/1.071 = 74.68, t·PV = 149.36
t = 3: 80/1.109 = 72.16, t·PV = 216.47
t = 4: 80/1.148 = 69.72, t·PV = 278.86
t = 5: 80/1.188 = 67.36, t·PV = 336.79
t = 6: 1080/1.229 = 878.58, t·PV = 5 271.48
デュレーション
P = 1 239.78
D = 6 330.26/1 239.78 = 5.106
7.CAPM と WACC
答え: re = 12 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €10 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
株主資本コスト
re = (7.05% − 1.05%)/0.5 = 12%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.334 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 5 000 000·€28.00 = €140 000 000
D = 5 000·€980 = €4 900 000
ウェイト
V = €144 900 000, E/V = 0.9662, D/V = 0.03382
WACC
WACC = 0.9662·8.5% + 0.03382·4.5%·(1 − 0.2) = 8.334%
9.損益分岐点分析
答え: DOL = 5
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益の合計
CM = 6 250·(30 − 18) = €75 000
営業利益
Π = 75 000 − 60 000 = €15 000
10.損益分岐点分析
答え: MS = 20 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 10 000/5 = 2 000
安全余裕率
MS = (2 500 − 2 000)/2 500·100 = 20%