1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3.6%、月複利で €20 000 を投資します。10 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €20 0003.6% / 12n = 10
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
10 年間、毎年初めに €1 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 5% です。10 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €1 000i = 5%n = 10
FV = €
3.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€7 000, €7 000, €5 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 7.000000000000001%CF0 = −20 000CF1 = 7 000CF2 = 7 000CF3 = 5 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
€10 000 の投資が 8 年間、毎年末に €2 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €10 000CF = €2 500n = 8
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、8 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 8% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 8%n = 8
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは 5% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 3YTM = 5%
D = 年
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €8 000 000、負債の価値は €3 000 000 です。WACC は 8.3%、税引前負債コストは 5%、税率は 25% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €8 000 000D = €3 000 000WACC = 8.3%rd = 5%T = 25%
re = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €55.00 の株式 1 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 21% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 9.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.3rf = 3.5%rm = 9.5%rd = 4.5%T = 21%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €30 000、1 個あたりの変動費が €8 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €33 200、1 個あたりの変動費が €4 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？
FA = €30 000vA = €8FB = €33 200vB = €4
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €33 で売られ、変動費は 1 個あたり €30、固定費は年 €2 400 です。予算販売量は 920 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €2 400p = €33v = €30予算 = 920
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 28651 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = m·n = 12·10 = 120
将来価値
FV = 20 000·(1 + 0.003)120 = 20 000·1.433 = €28 651.14
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 13207 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.05)10 − 1)/0.05 = 12.58
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 1 000·12.58·1.05 = €13 206.79
3.NPV と IRR
答え: NPV = −3262 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.07)1 = 7 000/1.07 = 6 542.06
CF2/(1 + 0.07)2 = 7 000/1.145 = 6 114.07
CF3/(1 + 0.07)3 = 5 000/1.225 = 4 081.49
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 18.62 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−8)/i = 10 000/2 500 = 4
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 18%: 4.078
i = 19%: 3.954
IRR = 18.62%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 767 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.04, N = 16
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.5339)/0.04 = €233.05
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: D = 2.872 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 45/1.05 = 42.86, t·PV = 42.86
t = 2: 45/1.103 = 40.82, t·PV = 81.63
t = 3: 1045/1.158 = 902.71, t·PV = 2 708.13
デュレーション
P = 986.38
D = 2 832.62/986.38 = 2.872
7.CAPM と WACC
答え: re = 10.01 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €11 000 000, E/V = 0.7273, D/V = 0.2727
WACC の負債の部分
0.2727·5%·(1 − 0.25) = 1.023%
株主資本コスト
re = (8.3% − 1.023%)/0.7273 = 10.01%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.67 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€55.00 = €55 000 000
D = 5 000·€980 = €4 900 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 1.3·6% = 11.3%
ウェイト
V = €59 900 000, E/V = 0.9182, D/V = 0.0818
WACC
WACC = 0.9182·11.3% + 0.0818·4.5%·(1 − 0.21) = 10.67%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 800 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
総費用が等しい
30 000 + 8Q = 33 200 + 4Q
Q について解く
Q = (33 200 − 30 000)/(8 − 4) = 800
この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。
10.損益分岐点分析
答え: MS = 13.04 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 2 400/3 = 800
安全余裕率
MS = (920 − 800)/920·100 = 13.04%