1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€2 000 を年 5%、連続複利で投資します。7 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €2 000r = 5%t = 7
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€150 000 のローンを、年 4.2%、月複利で 15 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €150 0004.2% / 12N = 180
I = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €80 000 です。3 年間、毎年末に €26 500 を生み、その後 €16 000 で売却できます。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €80 000CF = €26 500S = €16 000n = 3r = 6%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は €40 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €19 000, €13 500, €21 500, €14 500 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 10% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
r = 10%CF0 = −40 000CF1 = 19 000CF2 = 13 500CF3 = 21 500CF4 = 14 500
MIRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 3% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%YTM = 9%n = 4
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 6 年後に満期を迎え、€1 050 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 6P = €1 050
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €5 000 000、負債の価値は €2 000 000 です。WACC は 8.89%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 20% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €5 000 000D = €2 000 000WACC = 8.89%rd = 4.5%T = 20%
re = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1 です。負債資本比率を 0.6 にする計画です。税率は 25.8%、無リスク金利は 3.5%、市場リスクプレミアムは 5% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 1D/E = 0.6T = 25.8%rf = 3.5%rm − rf = 5%
re = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €21 で売られ、変動費は 1 個あたり €15 です。固定費は月 €24 000 です。月 €12 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €24 000p = €21v = €15利益 = €12 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €33 で売られ、変動費は 1 個あたり €30、固定費は年 €3 000 です。予算販売量は 1 400 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €3 000p = €33v = €30予算 = 1 400
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 2838 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.05·7 = 0.35
e0.35 = 1.419
将来価値
FV = 2 000·1.419 = €2 838.14
2.貨幣の時間価値
答え: I = 52433 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0035, N = 180
A = 150 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)−180) = €1 124.63
利息の総額
I = N·A − P = 180·1125 − 150 000 = €52 432.59
3.NPV と IRR
答え: NPV = 4269 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −80 000 + 70 834.82 + 13 433.91 = €4 268.73
4.NPV と IRR
答え: MIRR = 18.84 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入の終価
19 000·1.13 = 25 289.00
13 500·1.12 = 16 335.00
21 500·1.11 = 23 650.00
14 500·1.10 = 14 500.00
TV = 79 774.00
MIRR
MIRR = (79 774.00/40 000)1/4 − 1 = 18.84%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 802.1 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €15.00, i = 0.045, N = 8
クーポンの現在価値
€15.00·(1 − 0.7032)/0.045 = €98.94
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 4.045 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 050 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数値的に解く
P(4%) = €1 052.42, P(5%) = €1 000.00
YTM = 4.045%
7.CAPM と WACC
答え: re = 11.01 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €7 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857
WACC の負債の部分
0.2857·4.5%·(1 − 0.2) = 1.029%
株主資本コスト
re = (8.89% − 1.029%)/0.7143 = 11.01%
8.CAPM と WACC
答え: re = 10.73 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 1·(1 + 0.742·0.6) = 1.445
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 1.445·5% = 10.73%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 6000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (24 000 + 12 000)/6 = 6 000
10.損益分岐点分析
答え: MS = 28.57 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 3 000/3 = 1 000
安全余裕率
MS = (1 400 − 1 000)/1 400·100 = 28.57%