1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 2%、四半期複利で €12 000 を投資します。4 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €12 0002% / 4n = 4
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€15 000 のローンを 3 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 2.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €15 0002.4% / 12N = 36
A = €
3.NPV と IRRふつう
€75 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€37 000, €29 000, €34 000, €27 000。資本コストは 9% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 9%CF0 = −75 000CF1 = 37 000CF2 = 29 000CF3 = 34 000CF4 = 27 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €5 500 で、9 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 3% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €50 000CF1 = €5 500g = 3%n = 9r = 10%
NPV = €
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 8% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%YTM = 3.5%n = 3
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 8% のクーポンを支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは 3.5% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 5YTM = 3.5%
D = 年
7.CAPM と WACCふつう
ベータ 0.9 の株式の要求収益率は 9.85% です。無リスク金利は 4% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 0.9re = 9.85%rf = 4%
rm = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €5 000 000、株主資本コストは 11% です。負債は 2 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 6%、残存期間 8 年）からなり、1 枚 €1 065 で取引されています。税率は 21% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €5 000 000re = 11%債券: 2 000 × €1 065クーポンレート = 6%n = 8T = 21%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €28 で売られ、変動費は 1 個あたり €25 です。固定費は月 €6 000 です。月 €6 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €6 000p = €28v = €25利益 = €6 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €28 で売られ、変動費は 1 個あたり €18、固定費は年 €25 000 です。予算販売量は 2 880 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €25 000p = €28v = €18予算 = 2 880
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 12997 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.02/4 = 0.005
N = m·n = 4·4 = 16
将来価値
FV = 12 000·(1 + 0.005)16 = 12 000·1.083 = €12 996.85
2.貨幣の時間価値
答え: A = 432.3 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·3 = 36
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.9306
A = 15 000·0.002/(1 − 0.9306) = €432.26
3.NPV と IRR
答え: NPV = 28735 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.09)1 = 37 000/1.09 = 33 944.95
CF2/(1 + 0.09)2 = 29 000/1.188 = 24 408.72
CF3/(1 + 0.09)3 = 34 000/1.295 = 26 254.24
CF4/(1 + 0.09)4 = 27 000/1.412 = 19 127.48
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: NPV = −14906 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.03)/(1.1))9 = 0.5534
PV = 5 500/(0.1 − 0.03)·(1 − 0.5534) = 35 093.83
NPV
NPV = 35 093.83 − 50 000 = −€14 906.17
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1127 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €40.00, i = 0.0175, N = 6
クーポンの現在価値
€40.00·(1 − 0.9011)/0.0175 = €225.96
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: D = 4.379 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 80/1.035 = 77.29, t·PV = 77.29
t = 2: 80/1.071 = 74.68, t·PV = 149.36
t = 3: 80/1.109 = 72.16, t·PV = 216.47
t = 4: 80/1.148 = 69.72, t·PV = 278.86
t = 5: 1080/1.188 = 909.33, t·PV = 4 546.66
デュレーション
P = 1 203.18
D = 5 268.64/1 203.18 = 4.379
7.CAPM と WACC
答え: rm = 10.5 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (9.85% − 4%)/0.9 = 6.5%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.893 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
1065 = 60·(1 − (1 + y)−8)/y + 1000/(1 + y)8
y = 4.995%
時価
D = 2 000·€1 065 = €2 130 000
V = €7 130 000, E/V = 0.7013, D/V = 0.2987
WACC
WACC = 0.7013·11% + 0.2987·4.995%·(1 − 0.21) = 8.893%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 4000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (6 000 + 6 000)/3 = 4 000
10.損益分岐点分析
答え: MS = 13.19 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 25 000/10 = 2 500
安全余裕率
MS = (2 880 − 2 500)/2 880·100 = 13.19%