1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 17.5%、四半期複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 17.5%m = 4
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
6 年間、毎月末に €500 を積み立てます。口座の利率は年 7.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €5007.2% / 12N = 72
FV = €
3.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €20 000 で、5 年間、毎年末に €6 000 を生みます。資本コストは 10% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 10%CF0 = −20 000CF1 = 6 000CF2 = 6 000CF3 = 6 000CF4 = 6 000CF5 = 6 000
DPB = 年
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €100 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €22 500 で、4 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 3% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €100 000CF1 = €22 500g = 3%n = 4r = 12%
NPV = €
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 3% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%YTM = 3.5%n = 6
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 7% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、5 年後に満期を迎えます。価格は €1 210 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7% (2×)n = 5P = €1 210
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €8 000 000 の普通株、価値 €500 000 の優先株、価値 €6 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 10%、優先株のコストは 7%、税引前負債コストは 5% です。税率は 21% です。WACC を求めなさい。
E = €8 000 000Ps = €500 000D = €6 000 000re = 10%rp = 7%rd = 5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 2 000 000 株で、€46.00 で取引されています。株主資本の簿価は €36 800 000 です。1 株あたり €2.20 の配当を支払ったところで、配当は年 4% 成長します。負債の時価は €46 000 000、税引前コストは 4% です。税率は 25% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 2 000 000P0 = €46.00株主資本の簿価 = €36 800 000D0 = €2.20g = 4%D = €46 000 000rd = 4%T = 25%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €20 000、1 個あたりの変動費が €20 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €36 000、1 個あたりの変動費が €16 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？
FA = €20 000vA = €20FB = €36 000vB = €16
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €32 で売られ、変動費は 1 個あたり €20、固定費は年 €60 000 です。予算販売量は 5 750 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €60 000p = €32v = €20予算 = 5 750
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 18.68 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.04375)4 − 1 = 1.187 − 1 = 18.68%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 44862 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.07200000000000001/12 = 0.006
N = 12·6 = 72
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 500·(1.538 − 1)/0.006 = €44 862.34
自分で払い込んだのは €36 000。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: DPB = 4.263 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 6 000/1.1 = 5 454.55 → Σ = 5 454.55
年度 2: 6 000/1.21 = 4 958.68 → Σ = 10 413.22
年度 3: 6 000/1.331 = 4 507.89 → Σ = 14 921.11
年度 4: 6 000/1.464 = 4 098.08 → Σ = 19 019.19
年度 5: 6 000/1.611 = 3 725.53 → Σ = 22 744.72
最後の年の端数
DPB = 4 + 980.81/3 725.53 = 4.263
割引回収期間は、常に単純回収期間（3.333 年）より長くなります。
4.NPV と IRR
答え: NPV = −28820 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.03)/(1.12))4 = 0.7153
PV = 22 500/(0.12 − 0.03)·(1 − 0.7153) = 71 179.70
NPV
NPV = 71 179.70 − 100 000 = −€28 820.30
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
5.債券の価格と利回り
答え: P = 973.2 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €15.00, i = 0.0175, N = 12
クーポンの現在価値
€15.00·(1 − 0.8121)/0.0175 = €161.09
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 2.505 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.393 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 8 000 000 + 500 000 + 6 000 000 = €14 500 000
E/V = 0.5517, Ps/V = 0.03448, D/V = 0.4138
WACC
WACC = 0.5517·10% + 0.03448·7% + 0.4138·5%·(1 − 0.21) = 7.393%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.983 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 2.2·1.04 = €2.29
re = 2.288/46 + 0.04 = 8.974%
時価
E = 2 000 000·€46.00 = €92 000 000
V = €138 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·8.974% + 0.3333·4%·(1 − 0.25) = 6.983%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 4000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
総費用が等しい
20 000 + 20Q = 36 000 + 16Q
Q について解く
Q = (36 000 − 20 000)/(20 − 16) = 4 000
この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。
10.損益分岐点分析
答え: MS = 13.04 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 60 000/12 = 5 000
安全余裕率
MS = (5 750 − 5 000)/5 750·100 = 13.04%