1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €12 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 4% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 7% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €12 000g = 4%r = 7%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€200 000 の住宅ローンを、年 6%、月複利で 25 年間の元利均等の月払いで返済します。8 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €200 0006% / 12N = 300k = 96
B = €
3.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€8 000, €6 000, €10 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −20 000CF1 = 8 000CF2 = 6 000CF3 = 10 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €22 000, €20 000, €19 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000CF1 = 22 000CF2 = 20 000CF3 = 19 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 6% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%YTM = 2.5%n = 12
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 6 年後に満期を迎え、€1 075 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 6P = €1 075
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €3 000 000、負債の価値は €4 000 000 です。WACC は 6.43%、税引前負債コストは 5%、税率は 25% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €3 000 000D = €4 000 000WACC = 6.43%rd = 5%T = 25%
re = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.4 で 1.2 です。負債資本比率を 0.6 に引き上げる計画です。税率は 25%、無リスク金利は 3.5%、市場リスクプレミアムは 6% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.2D/E1 = 0.4D/E2 = 0.6T = 25%rf = 3.5%rm − rf = 6%
re = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €21 で売られ、変動費は 1 個あたり €18 です。固定費は月 €7 500 です。月 €6 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €7 500p = €21v = €18利益 = €6 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は 2 400 個を各 €18 で販売しており、1 個あたりの変動費は €15、固定費は €3 600 です。販売量が 8% 減少すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？
Q = 2 400p = €18v = €15F = €3 600%ΔQ = −8%
%ΔΠ = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 400000 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 12 000/(0.07 − 0.04) = 12 000/0.03 = €400 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: B = 164551 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.005, N = 300
A = 200 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)−300) = €1 288.60
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 300 − 96 = 204
B = 1289·(1 − (1 + 0.005)−204)/0.005 = €164 551.34
3.NPV と IRR
答え: NPV = 1283 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 8 000/1.06 = 7 547.17
CF2/(1 + 0.06)2 = 6 000/1.124 = 5 339.98
CF3/(1 + 0.06)3 = 10 000/1.191 = 8 396.19
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 25.22 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(25%) = 128.00
NPV(30%) = −2 594.45
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 25 + 5·128.00/(128.00 − (−2 594.45)) = 25.24%
正確な値: NPV(25.22%) = 0 → IRR = 25.22%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1361 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €30.00, i = 0.0125, N = 24
クーポンの現在価値
€30.00·(1 − 0.7422)/0.0125 = €618.73
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 6.453 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 075 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数値的に解く
P(6%) = €1 098.35, P(7%) = €1 047.67
YTM = 6.453%
7.CAPM と WACC
答え: re = 10 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €7 000 000, E/V = 0.4286, D/V = 0.5714
WACC の負債の部分
0.5714·5%·(1 − 0.25) = 2.143%
株主資本コスト
re = (6.43% − 2.143%)/0.4286 = 10%
8.CAPM と WACC
答え: re = 11.53 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.2/(1 + 0.75·0.4) = 0.9231
新しい D/E でリレバーする
βL = 0.9231·(1 + 0.75·0.6) = 1.338
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 1.338·6% = 11.53%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 4500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (7 500 + 6 000)/3 = 4 500
10.損益分岐点分析
答え: %ΔΠ = −16 %
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益と利益
CM = 2 400·3 = €7 200
Π = 7 200 − 3 600 = €3 600
確認：新しい利益 = 2 208·3 − 3 600 = €3 024.00。