1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €12 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 3% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 9% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €12 000g = 3%r = 9%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€10 000 のローンを、年 2.4%、月複利で 7 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €10 0002.4% / 12N = 84
I = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €60 000 です。6 年間、毎年末に €13 500 を生み、その後 €12 000 で売却できます。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €60 000CF = €13 500S = €12 000n = 6r = 12%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €29 000, €28 500, €15 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000CF1 = 29 000CF2 = 28 500CF3 = 15 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、11 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 5%n = 11
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 7% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、6 年後に満期を迎えます。価格は €953 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7% (2×)n = 6P = €953
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €8 000 000、負債の価値は €4 000 000 です。WACC は 9.2%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 20% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €8 000 000D = €4 000 000WACC = 9.2%rd = 4.5%T = 20%
re = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €15.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 25% です。株式のベータは 1.8、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 8% です。WACC を求めなさい。
β = 1.8rf = 1.5%rm = 8%rd = 4.5%T = 25%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €27 で売られ、変動費は 1 個あたり €15 です。固定費は月 €60 000 です。月 €12 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €60 000p = €27v = €15利益 = €12 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €21 で売られ、変動費は 1 個あたり €15、固定費は年 €7 200 です。予算販売量は 1 440 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €7 200p = €21v = €15予算 = 1 440
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 200000 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 12 000/(0.09 − 0.03) = 12 000/0.06 = €200 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: I = 873.5 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.002, N = 84
A = 10 000·0.002/(1 − (1 + 0.002)−84) = €129.45
利息の総額
I = N·A − P = 84·129.4 − 10 000 = €873.48
3.NPV と IRR
答え: NPV = 1584 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −60 000 + 55 504.00 + 6 079.57 = €1 583.57
4.NPV と IRR
答え: IRR = 41.93 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(40%) = 903.79
NPV(45%) = −1 360.45
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 40 + 5·903.79/(903.79 − (−1 360.45)) = 42%
正確な値: NPV(41.93%) = 0 → IRR = 41.93%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 748.5 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €10.00, i = 0.025, N = 22
クーポンの現在価値
€10.00·(1 − 0.5809)/0.025 = €167.65
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 8.002 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
7.CAPM と WACC
答え: re = 12 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €12 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC の負債の部分
0.3333·4.5%·(1 − 0.2) = 1.2%
株主資本コスト
re = (9.2% − 1.2%)/0.6667 = 12%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.665 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€15.50 = €15 500 000
D = 20 000·€1 000 = €20 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 1.5% + 1.8·6.5% = 13.2%
ウェイト
V = €35 500 000, E/V = 0.4366, D/V = 0.5634
WACC
WACC = 0.4366·13.2% + 0.5634·4.5%·(1 − 0.25) = 7.665%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 6000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (60 000 + 12 000)/12 = 6 000
10.損益分岐点分析
答え: MS = 16.67 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 7 200/6 = 1 200
安全余裕率
MS = (1 440 − 1 200)/1 440·100 = 16.67%