1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
7 年後に €50 000 が必要です。口座の利率は年 4%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €50 0004% / 12n = 7
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
7 年間、毎月末に €250 を積み立てます。口座の利率は年 5.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €2505.4% / 12N = 84
FV = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €40 000、耐用年数は 5 年、運転費は毎年 €4 000（各年末に支払い）です。資本コストは 6% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €40 000M = €4 000n = 5r = 6%
EAC = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €4 000, €7 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 7 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 7% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 7%n = 7
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは 6% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 4YTM = 6%
D = 年
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €5 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 5%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €5 000 000D = €5 000 000re = 10%rd = 5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €35.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €1 020 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 20% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 10.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.3rf = 3.5%rm = 10.5%rd = 5%T = 20%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある会社は 2 000 個を各 €23 で販売しています。1 個あたりの変動費は €8、固定費は €15 000 です。この販売水準での営業レバレッジ度 DOL を求めなさい。
Q = 2 000p = €23v = €8F = €15 000
DOL =
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €35 で売られ、変動費は 1 個あたり €20、固定費は年 €60 000 です。予算販売量は 5 000 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €60 000p = €35v = €20予算 = 5 000
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 37807 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.04/12 = 0.003333
N = 12·7 = 84
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1.323 = €37 806.79
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 25451 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045
N = 12·7 = 84
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 250·(1.458 − 1)/0.0045 = €25 451.44
自分で払い込んだのは €21 000。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: EAC = 13496 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.06−5)/0.06 = 4.212
EAC
EAC = 9 495.86 + 4 000 = €13 495.86
4.NPV と IRR
答え: IRR = 8.882 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(5%) = 612.24
NPV(10%) = −165.29
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 5 + 5·612.24/(612.24 − (−165.29)) = 8.937%
正確な値: NPV(8.882%) = 0 → IRR = 8.882%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 727 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €10.00, i = 0.035, N = 14
クーポンの現在価値
€10.00·(1 − 0.6178)/0.035 = €109.21
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: D = 3.741 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 45/1.06 = 42.45, t·PV = 42.45
t = 2: 45/1.124 = 40.05, t·PV = 80.10
t = 3: 45/1.191 = 37.78, t·PV = 113.35
t = 4: 1045/1.262 = 827.74, t·PV = 3 310.95
デュレーション
P = 948.02
D = 3 546.85/948.02 = 3.741
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €10 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·10% + 0.5·5%·(1 − 0.2) = 7%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.001 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€35.50 = €35 500 000
D = 40 000·€1 020 = €40 800 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 1.3·7% = 12.6%
ウェイト
V = €76 300 000, E/V = 0.4653, D/V = 0.5347
WACC
WACC = 0.4653·12.6% + 0.5347·5%·(1 − 0.2) = 8.001%
9.損益分岐点分析
答え: DOL = 2
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益の合計
CM = 2 000·(23 − 8) = €30 000
営業利益
Π = 30 000 − 15 000 = €15 000
10.損益分岐点分析
答え: MS = 20 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 60 000/15 = 4 000
安全余裕率
MS = (5 000 − 4 000)/5 000·100 = 20%