コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

€5 000 を年 4%、連続複利で投資します。11 年後の価値 FV を求めなさい。

PV = €5 000r = 4%t = 11

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

18 年後に €30 000 が欲しいとします。年 5.4%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。

FV = €30 0005.4% / 12N = 216

A = €

3.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €40 000 で、1 年目から 5 年目の各年末に €11 500, €9 500, €16 500, €12 500, €17 000 を生みます。資本コストは 12% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 12%CF₀ = −40 000CF₁ = 11 500CF₂ = 9 500CF₃ = 16 500CF₄ = 12 500CF₅ = 17 000

DPB = 年

4.NPV と IRRむずかしい

€25 000 の投資が 4 年間、毎年末に €10 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

C₀ = €25 000CF = €10 000n = 4

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が 10 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 3% のとき €1 085 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。

F = €1 000n = 10P = €1 085YTM = 3%

c = %

6.債券の価格と利回りむずかしい

残存期間 20 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 7%）が €1 115 で売られています。発行者は 4 年後に €1 070 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 7%P = €1 115繰上償還価格 = €1 070繰上償還まで 4 年

YTC = %

7.CAPM と WACCふつう

ある会社の株主資本の価値は €3 000 000、負債の価値は €3 000 000 です。WACC は 6.8%、税引前負債コストは 5%、税率は 28% です。株主資本コスト r_e を求めなさい。

E = €3 000 000D = €3 000 000WACC = 6.8%r_d = 5%T = 28%

r_e = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €58.50 の株式 5 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 21% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 2%、市場収益率は 8% です。WACC を求めなさい。

β = 1.2r_f = 2%r_m = 8%r_d = 4.5%T = 21%

WACC = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €25 000、1 個あたりの変動費が €8 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €26 600、1 個あたりの変動費が €6 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？

F_A = €25 000v_A = €8F_B = €26 600v_B = €6

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある製品は 1 個 €12 で売られ、変動費は 1 個あたり €8、固定費は年 €2 000 です。予算販売量は 800 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。

F = €2 000p = €12v = €8予算 = 800

MS = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 7764 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

指数

r·t = 0.04·11 = 0.44

e^0.44 = 1.553

将来価値

FV = 5 000·1.553 = €7 763.54

答え

FV = €7 763.54

2.貨幣の時間価値

答え: A = 82.44 €

月利と積立回数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·18 = 216

積立額

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0.0045/(2.637 − 1) = €82.44

答え

A = €82.44

3.NPV と IRR

答え: DPB = 4.256 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 11 500/1.12 = 10 267.86 → Σ = 10 267.86

年度 2: 9 500/1.254 = 7 573.34 → Σ = 17 841.20

年度 3: 16 500/1.405 = 11 744.37 → Σ = 29 585.57

年度 4: 12 500/1.574 = 7 943.98 → Σ = 37 529.55

年度 5: 17 000/1.762 = 9 646.26 → Σ = 47 175.81

最後の年の端数

DPB = 4 + 2 470.45/9 646.26 = 4.256

答え

DPB = 4.256 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.2 年）より長くなります。

4.NPV と IRR

答え: IRR = 21.86 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

必要な年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻⁴)/i = 25 000/10 000 = 2.5

利率について解く

利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。

i = 21%: 2.54

i = 22%: 2.494

IRR = 21.86%

答え

IRR = 21.86%

5.債券の価格と利回り

答え: c = 3.996 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

額面の現在価値

1000·(1 + 0.03)⁻¹⁰ = €744.09

クーポン

C = (1085 − 744.09)/8.53 = €39.96

クーポン・レート

c = 39.96/1000 = 3.996%

答え

c = 3.996%

6.債券の価格と利回り

答え: YTC = 5.346 %

利回りの方程式

1115 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1070/(1 + y)⁴

数値的に解く

y = 5%: €1 128.51

y = 6%: €1 090.10

YTC = 5.346%

答え

YTC = 5.346%

最終利回りは 5.998% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。

7.CAPM と WACC

答え: r_e = 10 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €6 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC の負債の部分

0.5·5%·(1 − 0.28) = 1.8%

株主資本コスト

r_e = (6.8% − 1.8%)/0.5 = 10%

答え

r_e = 10%

8.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.839 %

時価

E = 5 000 000·€58.50 = €292 500 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2% + 1.2·6% = 9.2%

ウェイト

V = €312 500 000, E/V = 0.936, D/V = 0.064

WACC

WACC = 0.936·9.2% + 0.064·4.5%·(1 − 0.21) = 8.839%

答え

WACC = 8.839%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 800 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

総費用が等しい

25 000 + 8Q = 26 600 + 6Q

Q について解く

Q = (26 600 − 25 000)/(8 − 6) = 800

答え

Q = 800 個

この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。

10.損益分岐点分析

答え: MS = 37.5 %

損益分岐点販売量

Q = F/(p − v) = 2 000/4 = 500

安全余裕率

MS = (800 − 500)/800·100 = 37.5%

答え

MS = 37.5%

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