1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€10 000 を年 3%、連続複利で投資します。9 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €10 000r = 3%t = 9
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€250 000 のローンを 20 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 5.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €250 0005.4% / 12N = 240
A = €
3.NPV と IRRふつう
€60 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€18 000, €13 000, €16 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −60 000CF1 = 18 000CF2 = 13 000CF3 = 16 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €17 000, €11 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 11 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 5.5% のときに、残存期間 8 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 8y0 = 5.5%y1 = 5%
HPR = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 8% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、8 年後に満期を迎えます。価格は €1 126 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8% (2×)n = 8P = €1 126
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €3 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €3 000 000D = €4 000 000re = 14%rd = 4.5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €8 000 000、株主資本コストは 10% です。負債は 4 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%、残存期間 6 年）からなり、1 枚 €1 026 で取引されています。税率は 20% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €8 000 000re = 10%債券: 4 000 × €1 026クーポンレート = 5%n = 6T = 20%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €25 000、1 個あたりの変動費が €18 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €33 000、1 個あたりの変動費が €14 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？
FA = €25 000vA = €18FB = €33 000vB = €14
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は月に 1 500 個を各 €12 で販売しており、1 個あたりの変動費は €8、固定費は月 €4 000 です。1 個あたりの変動費が €2 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？
Q = 1 500p = €12v = €8 → €10F = €4 000
Q = 個
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 13100 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.03·9 = 0.27
e0.27 = 1.31
将来価値
FV = 10 000·1.31 = €13 099.64
2.貨幣の時間価値
答え: A = 1706 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045
N = 12·20 = 240
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.3404
A = 250 000·0.0045/(1 − 0.3404) = €1 705.63
3.NPV と IRR
答え: NPV = −18015 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 18 000/1.06 = 16 981.13
CF2/(1 + 0.06)2 = 13 000/1.124 = 11 569.95
CF3/(1 + 0.06)3 = 16 000/1.191 = 13 433.91
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 8.539 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(5%) = 1 167.80
NPV(10%) = −454.55
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 5 + 5·1 167.80/(1 167.80 − (−454.55)) = 8.599%
正確な値: NPV(8.539%) = 0 → IRR = 8.539%
5.債券の価格と利回り
答え: HPR = 8.434 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €50.00, i = 0.055, N = 8
€50.00·(1 − 0.6516)/0.055 + €1 000·0.6516 = €316.73 + €651.60 = €968.33
売却価格
C = €50.00, i = 0.05, N = 7
€50.00·(1 − 0.7107)/0.05 + €1 000·0.7107 = €289.32 + €710.68 = €1 000.00
保有期間利回り
HPR = (50 + 1 000.00 − 968.33)/968.33 = 8.434%
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.994 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.057 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €7 000 000, E/V = 0.4286, D/V = 0.5714
WACC
WACC = 0.4286·14% + 0.5714·4.5%·(1 − 0.2) = 8.057%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.829 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
1026 = 50·(1 − (1 + y)−6)/y + 1000/(1 + y)6
y = 4.496%
時価
D = 4 000·€1 026 = €4 104 000
V = €12 104 000, E/V = 0.6609, D/V = 0.3391
WACC
WACC = 0.6609·10% + 0.3391·4.496%·(1 − 0.2) = 7.829%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 2000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
総費用が等しい
25 000 + 18Q = 33 000 + 14Q
Q について解く
Q = (33 000 − 25 000)/(18 − 14) = 2 000
この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。
10.損益分岐点分析
答え: Q = 3000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
現在の利益
Π = 1 500·(12 − 8) − 4 000 = €2 000
同じ利益に必要な個数
Q = (4 000 + 2 000)/2 = 3 000