エビデンスに基づく実践:直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT)
NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間:x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
人数年160122801.5新規症例10

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 コホートで、複数の群を異なる期間追跡しました(表を参照:各群の人数と追跡年数)。追跡中に 10 件の新規症例が発生しました。罹患率 IR を1000人年あたりで求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

60 × 1 年度280 × 1.5 年10 新規症例
IR = 1000人年あたり
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
p (%)PPV (%)10%PPV = ?100

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 あるスクリーニング検査の感度は 71%、特異度は 81% です。有病率が 10% の集団で用いられます。 陽性的中率 PPV を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

Se = 71%Sp = 81%p = 10%
PPV = %
3.記述統計ふつう
152025303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい:59, 19, 15, 52, 15。

n = 5
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 170、標準偏差 8 の正規分布に従います。180 より小さい値の割合 P はいくつですか?

μ = 170σ = 8x = 180
P =
5.信頼区間ふつう
n = 9, s = 7L = ?Ux̄ = 113E95%

9 個からなる標本の平均は 113、標準偏差は s = 7 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 9x̄ = 113s = 795%t(8) = 2.306
下限 =
6.信頼区間むずかしい
σ = 31, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 590%

母標準偏差は 31 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか?

σ = 31E = 590%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.1792.179t = ?df = 12

13 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前(1 分あたりの単語数)を記録します。差の平均は 9.85、差の標準偏差は 11.1 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。

n = 13d̄ = 9.85sd = 11.1
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
−1.961.96z = ?

ある臨床試験で、治療 A の患者 100 人中 25 人、治療 B の患者 250 人中 30 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。

x₁ = 25n₁ = 100x₂ = 30n₂ = 250
z =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: IR = 20.8 1000人年あたり

尤度比とリスク指標:LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

人年

PY = 60·1 + 280·1.5 = 480

罹患率

IR = 10/480·1000 = 20.8 1000人年あたり

答え

IR = 20.8 1000人年あたり
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: PPV = 29.3 %

予測値は有病率に依存します:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。

真陽性と偽陽性(1人あたり)

Se·p = 0.71·0.1 = 0.071
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.19·0.9 = 0.171

陽性的中率

PPV = 0.071/(0.071 + 0.171) = 0.2934 ≈ 29.3%

答え

PPV = 29.3%

同じ検査でも、有病率が低いほど PPV は低くなります。

3.記述統計

答え: s = 21.66

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 160/5 = 32

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 27² + (−13)² + (−17)² + 20² + (−17)² = 1876

標準偏差

s = √(1876/4) = 21.66

答え

s = 21.66
4.記述統計

答え: P = 0.8944

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = 1.25

標準正規分布表

Φ(1.25) = 0.8944
P = 0.8944

答え

P = 0.8944
5.信頼区間

答え: 下限 = 107.6

平均の信頼区間:x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 8, t = 2.306

誤差の幅

E = 2.306·7/√9 = 5.381

区間

113 ± 5.381 → [107.6, 118.4]

答え

下限 = 107.6
6.信頼区間

答え: n = 105

平均の信頼区間:x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.645·31/5)² = 104

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 105

答え

n = 105
7.仮説検定と信頼区間

答え: t = 3.2

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

差の平均の標準誤差

SE = 11.1/√13 = 3.079

検定統計量

t = 9.85/3.079 = 3.2

答え

t = 3.2

df = 12 のとき、両側 5% の臨界値は 2.179 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。

8.仮説検定と信頼区間

答え: z = 3.019

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

標本比率

p̂₁ = 25/100 = 0.25
p̂₂ = 30/250 = 0.12
p̂ = 55/350 = 0.1571

H₀ のもとでの標準誤差

SE = √(0.1571·0.8429·(1/100 + 1/250)) = 0.04306

検定統計量

z = (0.25 − 0.12)/0.04306 = 3.019

答え

z = 3.019

|z| > 1.96 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されます。

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