1公式と解法
エビデンスに基づく実践の統計
- 感度と特異度
- Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
- 予測値
- PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
- 精度
- (a + d)/n
- 尤度比
- LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
- 有病率 p での PPV
- Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
- オッズ
- オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
- リスク指標
- RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
- 治療必要数（NNT）
- NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
- オッズ比
- OR = ad/(bc)
- 罹患率
- 新規症例 / 人時
解き方
- 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
- 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
- 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
- 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
- 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。
記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
2演習問題
1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 症例対照研究で、疾患のある患者 150 人（症例）と疾患のない 770 人（対照）を比較しました。表は、各群でリスク因子に曝露された人数を示しています。この曝露のオッズ比 OR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 50b = 85c = 100d = 685
OR =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 10 000 人が、感度 76%、特異度 83% の検査でスクリーニングされます。疾患の有病率は 17% です。 陽性の結果 n₊ は合計で何件と予想されますか。
N = 10 000p = 17%Se = 76%Sp = 83%
n₊ =
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：12, 12, 21, 14, 40, 37, 49。
n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
ある量は平均 50、標準偏差 8 の正規分布に従います。58 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 50σ = 8x = 58
P =
5.信頼区間ふつう
9 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は −4.3、標準偏差は 7.1 です。 差の平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 9d̄ = −4.3sd = 7.195%t(8) = 2.306
上限 = mmHg
6.信頼区間むずかしい
機械加工した 16 本の軸の直径の標本標準偏差は 7.9 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 15 のとき、χ² 分布の 2.5% は 6.262 より下に、2.5% は 27.488 より上にあります。
n = 16s = 7.9 µmχ² = 6.262, 27.488
σ = µm
7.仮説検定と信頼区間ふつう
ある母集団の平均は 50 であると主張されています。母標準偏差は 10 であることがわかっています。100 個の観測値からなる無作為標本の平均は 47.8 です。H₀: μ = 50 対 H₁: μ ≠ 50 を検定します。p 値 p を求めなさい。
μ₀ = 50σ = 10n = 100x̄ = 47.8H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 20 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 20E = 2.595%
n =
3溶液
1.エビデンスに基づく実践の統計
答え: OR = 4.03
尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
曝露のオッズ
症例: 50/100 = 0.5
対照: 85/685 = 0.1241
オッズ比
OR = (50·685)/(85·100) = 4.029 ≈ 4.03
OR が1より大きい：曝露は症例のほうに多くみられます。
2.エビデンスに基づく実践の統計
答え: n₊ = 2703
予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
疾患のある人とない人
10 000·0.17 = 1700
10 000 − 1700 = 8300
すべての陽性の結果
TP = 1700·0.76 = 1292
FP = 8300·0.17 = 1411
n₊ = 1292 + 1411 = 2703
2703 件の陽性のうち、疾患があるのは 1292 件だけです（PPV 47.8%）。
3.記述統計
答え: s = 15.31
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−14.43)² + (−14.43)² + (−5.429)² + (−12.43)² + 13.57² + 10.57² + 22.57² = 1406
4.記述統計
答え: P = 0.1587
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 1 − 0.8413 = 0.1587
5.信頼区間
答え: 上限 = 1.158 mmHg
差の区間：推定値 ± 臨界値 × 標準誤差。σ が既知の独立な 2 つの平均では SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) と z を使います。未知の分散が等しい場合は、プールした s_p と自由度 n₁ + n₂ − 2 の t を使います。対応のあるデータでは差を扱います：d̄ ± t·s_d/√n。
区間
−4.3 ± 5.458 → [−9.758, 1.158]
6.信頼区間
答え: σ = 12.23 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 15·7.9² = 936.2
σ² の限界
936.2/27.488 = 34.06
936.2/6.262 = 149.5
σ の 95% 区間：[5.836, 12.23] µm。
7.仮説検定と信頼区間
答え: p = 0.02781
仮説検定：検定統計量 =（推定値 − H₀ のもとでの値）/（H₀ のもとでの標準誤差）。p 値は、H₀ が正しいと仮定したとき、観測されたもの以上に極端な統計量が得られる確率です：片側の H₁ では片側の裾の面積、両側の H₁ では裾の面積の 2 倍です。p ≤ α なら H₀ を棄却します。
検定統計量
SE = σ/√n = 10/√100 = 1
z = (47.8 − 50)/1 = −2.2
裾の面積
Φ(2.2) = 0.9861
1 − Φ(2.2) = 0.0139
p ≤ 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されます。
8.仮説検定と信頼区間
答え: n = 246
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く
n = (1.96·20/2.5)² = 245.9