1公式と解法
エビデンスに基づく実践の統計
- 感度と特異度
- Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
- 予測値
- PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
- 精度
- (a + d)/n
- 尤度比
- LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
- 有病率 p での PPV
- Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
- オッズ
- オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
- リスク指標
- RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
- 治療必要数（NNT）
- NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
- オッズ比
- OR = ad/(bc)
- 罹患率
- 新規症例 / 人時
解き方
- 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
- 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
- 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
- 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
- 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。
記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
2演習問題
1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 コホートで、複数の群を異なる期間追跡しました（表を参照：各群の人数と追跡年数）。追跡中に 49 件の新規症例が発生しました。罹患率 IR を1000人年あたりで求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
540 × 5 年90 × 1 年度590 × 3 年49 新規症例
IR = 1000人年あたり
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 10 000 人が、感度 73%、特異度 86% の検査でスクリーニングされます。疾患の有病率は 12% です。 偽陽性の結果 FP は何件と予想されますか。
N = 10 000p = 12%Se = 73%Sp = 86%
FP =
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：34, 11, 23, 44, 38。
n = 5
s =
4.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 60、標準偏差 5 の正規分布に従います。55 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 60σ = 5x = 55
z =
5.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：50 台、平均 56 h、既知の標準偏差 17 h。機種 2：40 台、平均 57.5 h、既知の標準偏差 5 h。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。
n₁ = 50x̄₁ = 56 hσ₁ = 17 hn₂ = 40x̄₂ = 57.5 hσ₂ = 5 h95%
上限 = h
6.信頼区間むずかしい
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：8 区画、平均収量 70 kg、標準偏差 3 kg。区画群 2：18 区画、平均 63 kg、標準偏差 10 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 8x̄₁ = 70s₁ = 3n₂ = 18x̄₂ = 63s₂ = 1095%t(24) = 2.064
E = kg
7.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 25 人の標本の平均点は 506.8、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 500x̄ = 506.8s = 20n = 25
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 500 対 H₁: μ > 500 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 100 で行います。標準偏差は 10 であることがわかっています。実際の平均は 502.6 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 500μ = 502.6σ = 10n = 100α = 0.01
1 − β = %
3溶液
1.エビデンスに基づく実践の統計
答え: IR = 10.7 1000人年あたり
尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
人年
PY = 540·5 + 90·1 + 590·3 = 4560
罹患率
IR = 49/4560·1000 = 10.7 1000人年あたり
2.エビデンスに基づく実践の統計
答え: FP = 1232
予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
疾患のある人とない人
10 000·0.12 = 1200
10 000 − 1200 = 8800
2108 件の陽性のうち、疾患があるのは 876 件だけです（PPV 41.6%）。
3.記述統計
答え: s = 13.1
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 4² + (−19)² + (−7)² + 14² + 8² = 686
4.記述統計
答え: z = −1
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
5.信頼区間
答え: 上限 = 3.46 h
差の区間：推定値 ± 臨界値 × 標準誤差。σ が既知の独立な 2 つの平均では SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) と z を使います。未知の分散が等しい場合は、プールした s_p と自由度 n₁ + n₂ − 2 の t を使います。対応のあるデータでは差を扱います：d̄ ± t·s_d/√n。
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 56 − 57.5 = −1.5
標準誤差
SE = √(17²/50 + 5²/40) = 2.531
区間
−1.5 ± 4.96 → [−6.46, 3.46]
区間は 0 を含むので、データは有意な差を示していません。
6.信頼区間
答え: E = 7.517 kg
差の区間：推定値 ± 臨界値 × 標準誤差。σ が既知の独立な 2 つの平均では SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) と z を使います。未知の分散が等しい場合は、プールした s_p と自由度 n₁ + n₂ − 2 の t を使います。対応のあるデータでは差を扱います：d̄ ± t·s_d/√n。
プールした標準偏差
sp² = (7·3² + 17·10²)/24 = 73.46
sp = 8.571
誤差の幅
E = 2.064·8.571·√(1/8 + 1/18) = 7.517
7.仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.7
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
検定統計量
t = (506.8 − 500)/4 = 1.7
t = 1.7
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
8.仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 60.8 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 10/√100 = 1
x̄c = 500 + 2.326·1 = 502.3
真の平均のもとでの z
z = (502.3 − 502.6)/1 = −0.274
電力
検出力 = P(Z > −0.274) = 60.8%
1 − β = 60.8%