1公式と解法
エビデンスに基づく実践の統計
- 感度と特異度
- Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
- 予測値
- PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
- 精度
- (a + d)/n
- 尤度比
- LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
- 有病率 p での PPV
- Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
- オッズ
- オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
- リスク指標
- RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
- 治療必要数（NNT）
- NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
- オッズ比
- OR = ad/(bc)
- 罹患率
- 新規症例 / 人時
解き方
- 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
- 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
- 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
- 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
- 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。
記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
2演習問題
1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ランダム化比較試験で、930 人の患者が新しい治療を、690 人が対照の治療を受けました。表は、各群で 副作用 があった人数を示しています。 害必要数 NNH を求めてください。副作用が出る患者が1人増えるには、何人の患者を治療しなければなりませんか。 患者数の整数に切り上げます。
治療: 767/930対照: 228/690
NNH =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある患者の疾患の検査前確率は 15% です。感度 95%、特異度 93% の検査の結果は 正 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
検査前 15%Se = 95%Sp = 93%正
p′ = %
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：31, 56, 60, 29, 35。
n = 5
s =
4.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 500、標準偏差 75 の正規分布に従います。350 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 500σ = 75x = 350
z =
5.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：50 台、平均 55 h、既知の標準偏差 16 h。機種 2：50 台、平均 55.5 h、既知の標準偏差 5 h。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。
n₁ = 50x̄₁ = 55 hσ₁ = 16 hn₂ = 50x̄₂ = 55.5 hσ₂ = 5 h99%
上限 = h
6.信頼区間むずかしい
機械加工した 25 本の軸の直径の標本標準偏差は 1.8 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 24 のとき、χ² 分布の 2.5% は 12.401 より下に、2.5% は 39.364 より上にあります。
n = 25s = 1.8 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
7.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 100 人の標本の平均点は 48.76、標本標準偏差は 4 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 50x̄ = 48.76s = 4n = 100
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 5 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 5E = 0.599%
n =
3溶液
1.エビデンスに基づく実践の統計
答え: NNH = 3
尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
イベント発生率
EER = 767/930 = 0.8247
CER = 228/690 = 0.3304
害必要数（NNH）
ARI = 0.8247 − 0.3304 = 0.4943
NNH = 1/0.4943 = 2.023 → 3
治療を受けた患者 3 人に約1人が、その治療のために副作用を経験します。
2.エビデンスに基づく実践の統計
答え: p′ = 70.5 %
予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
尤度比
LR+ = 0.95/(1 − 0.93) = 13.57
検査後確率
p′ = 2.395/(1 + 2.395) = 0.7054 ≈ 70.5%
3.記述統計
答え: s = 14.65
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−11.2)² + 13.8² + 17.8² + (−13.2)² + (−7.2)² = 858.8
4.記述統計
答え: z = −2
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
5.信頼区間
答え: 上限 = 5.607 h
差の区間：推定値 ± 臨界値 × 標準誤差。σ が既知の独立な 2 つの平均では SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) と z を使います。未知の分散が等しい場合は、プールした s_p と自由度 n₁ + n₂ − 2 の t を使います。対応のあるデータでは差を扱います：d̄ ± t·s_d/√n。
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 55 − 55.5 = −0.5
標準誤差
SE = √(16²/50 + 5²/50) = 2.371
区間
−0.5 ± 6.107 → [−6.607, 5.607]
区間は 0 を含むので、データは有意な差を示していません。
6.信頼区間
答え: σ = 2.504 µm
分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和
(n − 1)s² = 24·1.8² = 77.76
σ² の限界
77.76/39.364 = 1.975
77.76/12.401 = 6.27
σ の 95% 区間：[1.405, 2.504] µm。
7.仮説検定と信頼区間
答え: t = −3.1
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
検定統計量
t = (48.76 − 50)/0.4 = −3.1
t = −3.1
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
8.仮説検定と信頼区間
答え: n = 664
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く
n = (2.576·5/0.5)² = 663.6