記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (560 − 500)/60 = 1
答え
z = 1
5.信頼区間
答え: E₂ = 2.181
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
誤差の幅の比
E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(64/576) = 0.2536
新しい誤差の幅
E₂ = 8.6·0.2536 = 2.181
答え
E₂ = 2.181
6.信頼区間
答え: n = 482
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く
n = 1.645²·0.8·0.2/0.03² = 481.1
切り上げる
n = 482
答え
n = 482
7.仮説検定と信頼区間
答え: t = 2.45
平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。
標準誤差
SE = 4/√49 = 4/7 = 0.5714
検定統計量
t = (101.4 − 100)/0.5714 = 2.45
答え
t = 2.45
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されます。
8.仮説検定と信頼区間
答え: L = 85.72
平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。