エビデンスに基づく実践:直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT)
NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間:x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
イベントありイベントなし合計治療83707790ab対照90550640cd

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ランダム化比較試験で、790 人の患者が新しい治療を、640 人が対照の治療を受けました。表は、各群で アウトカム(脳卒中などの望ましくないイベント) があった人数を示しています。 治療によるイベントの相対リスク RR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。

治療: 83/790対照: 90/640
RR =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
p (%)PPV (%)1%PPV = ?100

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 あるスクリーニング検査の感度は 86%、特異度は 84% です。有病率が 1% の集団で用いられます。 陽性的中率 PPV を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

Se = 86%Sp = 84%p = 1%
PPV = %
3.記述統計ふつう
10152025303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい:15, 13, 57, 50, 10。

n = 5
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

試験の点数は平均 500、標準偏差 60 の正規分布に従います。560 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 500σ = 60x = 560
z =
5.信頼区間ふつう
x̄E₁ = 8.699%, n = 64x̄E₂ = ?95%, n = 576

σ が既知のもとで 64 個の観測値に基づく平均の 99% 信頼区間の誤差の幅は 8.6 です。 576 個の観測値に基づく 95% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか?

99%n₁ = 64E₁ = 8.695%n₂ = 576
E₂ =
6.信頼区間むずかしい
p ≈ 0.8, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0390%

予備調査によると、製品の約 0.8 が不良品です。 割合の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.03 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか?

p ≈ 0.8E = 0.0390%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
t −2.01102.011

学生 49 人の標本の平均点は 101.4、標本標準偏差は 4 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 100x̄ = 101.4s = 4n = 49
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
z −1.9601.96

25 回の測定の標本平均は 91.6 です。母標準偏差は 15 です。平均の 95% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 91.6σ = 15n = 2595%
L =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: RR = 0.75

尤度比とリスク指標:LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

イベント発生率

EER = 83/790 = 0.1051
CER = 90/640 = 0.1406

相対リスク

RR = 0.1051/0.1406 = 0.7471 ≈ 0.75

答え

RR = 0.75
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: PPV = 5.1 %

予測値は有病率に依存します:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。

真陽性と偽陽性(1人あたり)

Se·p = 0.86·0.01 = 0.0086
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.16·0.99 = 0.1584

陽性的中率

PPV = 0.0086/(0.0086 + 0.1584) = 0.0515 ≈ 5.1%

答え

PPV = 5.1%

同じ検査でも、有病率が低いほど PPV は低くなります。

3.記述統計

答え: s = 22.57

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 145/5 = 29

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−14)² + (−16)² + 28² + 21² + (−19)² = 2038

標準偏差

s = √(2038/4) = 22.57

答え

s = 22.57
4.記述統計

答え: z = 1

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = (560 − 500)/60 = 1

答え

z = 1
5.信頼区間

答え: E₂ = 2.181

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

誤差の幅の比

E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(64/576) = 0.2536

新しい誤差の幅

E₂ = 8.6·0.2536 = 2.181

答え

E₂ = 2.181
6.信頼区間

答え: n = 482

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n について解く

n = 1.645²·0.8·0.2/0.03² = 481.1

切り上げる

n = 482

答え

n = 482
7.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.45

平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。

標準誤差

SE = 4/√49 = 4/7 = 0.5714

検定統計量

t = (101.4 − 100)/0.5714 = 2.45

答え

t = 2.45
t0.025; df = 48 = 2.011

|t| > 2.011 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されます。

8.仮説検定と信頼区間

答え: L = 85.72

平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。

誤差の幅

E = 1.96·15/√25 = 5.88

区間の端

L = 91.6 − 5.88 = 85.72

答え

L = 85.72

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