エビデンスに基づく実践:直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT)
NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間:x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
人数年113022603新規症例5

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 コホートで、複数の群を異なる期間追跡しました(表を参照:各群の人数と追跡年数)。追跡中に 5 件の新規症例が発生しました。罹患率 IR を1000人年あたりで求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

130 × 2 年60 × 3 年5 新規症例
IR = 1000人年あたり
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
対照21%治療?

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 薬を使わない場合、患者の 21% が1年間にある副作用を経験します。この薬はこのリスクを相対リスク RR = 1.28 で高めます。害必要数 NNH を求めてください。副作用が出る患者が1人増えるには、何人の患者が1年間この薬を服用しなければなりませんか。 患者数の整数に切り上げます。

対照 21%RR = 1.28
NNH =
3.記述統計ふつう
152025303540

データの標本標準偏差 s を求めなさい:44, 15, 19, 13, 34, 40, 24。

n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 50、標準偏差 12 の正規分布に従います。44 より大きい値の割合 P はいくつですか?

μ = 50σ = 12x = 44
P =
5.信頼区間ふつう
n = 6, s = 17L = ?Ux̄ = 80.5E99%

6 個からなる標本の平均は 80.5、標準偏差は s = 17 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 6x̄ = 80.5s = 1799%t(5) = 4.032
下限 =
6.信頼区間むずかしい
p ≈ 0.15, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0190%

予備調査によると、製品の約 0.15 が不良品です。 割合の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.01 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか?

p ≈ 0.15E = 0.0190%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
−1.961.96z = ?

2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1:40 個の部品の標本の平均長さは 87.5 mm で、ラインの既知の標準偏差は 16 mm です。ライン 2:50 個の部品の標本の平均は 89.7 mm、既知の標準偏差は 13 mm です。差を x̄₁ − x̄₂(ライン 1 − ライン 2)として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。

n₁ = 40x̄₁ = 87.5 mmσ₁ = 16 mmn₂ = 50x̄₂ = 89.7 mmσ₂ = 13 mm
z =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 290%

平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか?標準偏差は 4 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 4E = 290%
n =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: IR = 11.4 1000人年あたり

尤度比とリスク指標:LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

人年

PY = 130·2 + 60·3 = 440

罹患率

IR = 5/440·1000 = 11.4 1000人年あたり

答え

IR = 11.4 1000人年あたり
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: NNH = 18

予測値は有病率に依存します:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。

薬を使った場合のリスク

0.21·1.28 = 0.2688

絶対リスク増加

ARI = 0.2688 − 0.21 = 0.0588

害必要数(NNH)

NNH = 1/0.0588 = 17.01 → 18

答え

NNH = 18
3.記述統計

答え: s = 12.38

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 189/7 = 27

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 17² + (−12)² + (−8)² + (−14)² + 7² + 13² + (−3)² = 920

標準偏差

s = √(920/6) = 12.38

答え

s = 12.38
4.記述統計

答え: P = 0.6915

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = −0.5

標準正規分布表

Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915

答え

P = 0.6915
5.信頼区間

答え: 下限 = 52.52

平均の信頼区間:x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 5, t = 4.032

誤差の幅

E = 4.032·17/√6 = 27.98

区間

80.5 ± 27.98 → [52.52, 108.5]

答え

下限 = 52.52
6.信頼区間

答え: n = 3451

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n について解く

n = 1.645²·0.15·0.85/0.01² = 3450

切り上げる

n = 3451

答え

n = 3451
7.仮説検定と信頼区間

答え: z = −0.7035

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差の標準誤差

SE = √(16²/40 + 13²/50) = √9.78 = 3.127

検定統計量

z = (87.5 − 89.7)/3.127 = −0.7035

答え

z = −0.7035

|z| < 1.96 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: n = 11

平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。

n について解く

n = (1.645·4/2)² = 10.82

切り上げる

n = 11

答え

n = 11

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