記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −0.5
標準正規分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915
答え
P = 0.6915
5.信頼区間
答え: 下限 = 52.52
平均の信頼区間:x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 5, t = 4.032
誤差の幅
E = 4.032·17/√6 = 27.98
区間
80.5 ± 27.98 → [52.52, 108.5]
答え
下限 = 52.52
6.信頼区間
答え: n = 3451
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く
n = 1.645²·0.15·0.85/0.01² = 3450
切り上げる
n = 3451
答え
n = 3451
7.仮説検定と信頼区間
答え: z = −0.7035
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差の標準誤差
SE = √(16²/40 + 13²/50) = √9.78 = 3.127
検定統計量
z = (87.5 − 89.7)/3.127 = −0.7035
答え
z = −0.7035
|z| < 1.96 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されません。
8.仮説検定と信頼区間
答え: n = 11
平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。