エビデンスに基づく実践：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT）
NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
イベントありイベントなし合計治療50290340ab対照155265420cd

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ランダム化比較試験で、340 人の患者が新しい治療を、420 人が対照の治療を受けました。表は、各群で アウトカム（脳卒中などの望ましくないイベント） があった人数を示しています。 絶対リスク減少 ARR を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

治療: 50/340対照: 155/420
ARR = %
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
p (%)PPV (%)1%PPV = ?100

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 あるスクリーニング検査の感度は 82%、特異度は 80% です。有病率が 1% の集団で用いられます。 陽性的中率 PPV を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

Se = 82%Sp = 80%p = 1%
PPV = %
3.記述統計ふつう
10152025303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい：22, 58, 34, 22, 29, 18, 10。

n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

試験の点数は平均 100、標準偏差 15 の正規分布に従います。130 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 100σ = 15x = 130
z =
5.信頼区間ふつう
n = 30, s = 10L = ?Ux̄ = 98.5E95%

30 個からなる標本の平均は 98.5、標準偏差は s = 10 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 30x̄ = 98.5s = 1095%t(29) = 2.045
下限 =
6.信頼区間むずかしい
σ = 37, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.599%

母標準偏差は 37 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 37E = 0.599%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
−1.22p = ?

ある母集団の平均は 100 であると主張されています。母標準偏差は 3 であることがわかっています。36 個の観測値からなる無作為標本の平均は 99.39 です。H₀: μ = 100 対 H₁: μ < 100 を検定します。p 値 p を求めなさい。

μ₀ = 100σ = 3n = 36x̄ = 99.39H₁: μ < μ₀
p =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 290%

平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 10 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 10E = 290%
n =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: ARR = 22.2 %

尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

イベント発生率

EER = 50/340 = 0.1471
CER = 155/420 = 0.369

絶対リスク減少

ARR = 0.369 − 0.1471 = 0.222 ≈ 22.2%

答え

ARR = 22.2%
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: PPV = 4 %

予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。

真陽性と偽陽性（1人あたり）

Se·p = 0.82·0.01 = 0.0082
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.2·0.99 = 0.198

陽性的中率

PPV = 0.0082/(0.0082 + 0.198) = 0.03977 ≈ 4%

答え

PPV = 4%

同じ検査でも、有病率が低いほど PPV は低くなります。

3.記述統計

答え: s = 15.45

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 193/7 = 27.57

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−5.571)² + 30.43² + 6.429² + (−5.571)² + 1.429² + (−9.571)² + (−17.57)² = 1432

標準偏差

s = √(1432/6) = 15.45

答え

s = 15.45
4.記述統計

答え: z = 2

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = (130 − 100)/15 = 2

答え

z = 2
5.信頼区間

答え: 下限 = 94.77

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 29, t = 2.045

誤差の幅

E = 2.045·10/√30 = 3.734

区間

98.5 ± 3.734 → [94.77, 102.2]

答え

下限 = 94.77
6.信頼区間

答え: n = 36338

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·37/0.5)² = 36338

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 36338

答え

n = 36338
7.仮説検定と信頼区間

答え: p = 0.1112

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

検定統計量

SE = σ/√n = 3/√36 = 0.5
z = (99.39 − 100)/0.5 = −1.22

裾の面積

Φ(1.22) = 0.8888
1 − Φ(1.22) = 0.1112

p 値

p = 0.1112

答え

p = 0.1112

p > 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: n = 68

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

n について解く

n = (1.645·10/2)² = 67.65

切り上げる

n = 68

答え

n = 68

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