エビデンスに基づく実践:直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT)
NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間:x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
人数年118022440531300.5新規症例102

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 コホートで、複数の群を異なる期間追跡しました(表を参照:各群の人数と追跡年数)。追跡中に 102 件の新規症例が発生しました。罹患率 IR を1000人年あたりで求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

180 × 2 年440 × 5 年130 × 0.5 年102 新規症例
IR = 1000人年あたり
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
検査前5%検査後?p′LR+

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ある患者の疾患の検査前確率は 5% です。感度 88%、特異度 67% の検査の結果は 正 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

検査前 5%Se = 88%Sp = 67%正
p′ = %
3.記述統計ふつう
25303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい:40, 35, 59, 53, 24, 21, 58。

n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 170、標準偏差 20 の正規分布に従います。140 より小さい値の割合 P はいくつですか?

μ = 170σ = 20x = 140
P =
5.信頼区間ふつう
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1:100 台、平均 130.5 h、既知の標準偏差 10 h。機種 2:30 台、平均 125.5 h、既知の標準偏差 4 h。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n₁ = 100x̄₁ = 130.5 hσ₁ = 10 hn₂ = 30x̄₂ = 125.5 hσ₂ = 4 h95%
E = h
6.信頼区間むずかしい
σ = 38, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.599%

母標準偏差は 38 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか?

σ = 38E = 0.599%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
−1.961.96z = ?

2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1:30 個の部品の標本の平均長さは 150 mm で、ラインの既知の標準偏差は 7 mm です。ライン 2:40 個の部品の標本の平均は 151.7 mm、既知の標準偏差は 16 mm です。差を x̄₁ − x̄₂(ライン 1 − ライン 2)として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。

n₁ = 30x̄₁ = 150 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 40x̄₂ = 151.7 mmσ₂ = 16 mm
z =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
−1.961.96z = ?

ある臨床試験で、治療 A の患者 80 人中 36 人、治療 B の患者 200 人中 72 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。

x₁ = 36n₁ = 80x₂ = 72n₂ = 200
z =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: IR = 38.9 1000人年あたり

尤度比とリスク指標:LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

人年

PY = 180·2 + 440·5 + 130·0.5 = 2625

罹患率

IR = 102/2625·1000 = 38.9 1000人年あたり

答え

IR = 38.9 1000人年あたり
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: p′ = 12.3 %

予測値は有病率に依存します:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。

尤度比

LR+ = 0.88/(1 − 0.67) = 2.667

検査前オッズ

0.05/(1 − 0.05) = 0.05263

検査後オッズ

0.05263·2.667 = 0.1404

検査後確率

p′ = 0.1404/(1 + 0.1404) = 0.1231 ≈ 12.3%

答え

p′ = 12.3%
3.記述統計

答え: s = 15.71

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 290/7 = 41.43

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−1.429)² + (−6.429)² + 17.57² + 11.57² + (−17.43)² + (−20.43)² + 16.57² = 1482

標準偏差

s = √(1482/6) = 15.71

答え

s = 15.71
4.記述統計

答え: P = 0.06681

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = −1.5

標準正規分布表

Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681

答え

P = 0.06681
5.信頼区間

答え: E = 2.427 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点推定値

x̄₁ − x̄₂ = 130.5 − 125.5 = 5

標準誤差

SE = √(10²/100 + 4²/30) = 1.238

誤差の幅

E = 1.96·1.238 = 2.427

答え

E = 2.427 h

区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。

6.信頼区間

答え: n = 38329

平均の信頼区間:x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·38/0.5)² = 38328

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 38329

答え

n = 38329
7.仮説検定と信頼区間

答え: z = −0.5998

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差の標準誤差

SE = √(7²/30 + 16²/40) = √8.033 = 2.834

検定統計量

z = (150 − 151.7)/2.834 = −0.5998

答え

z = −0.5998

|z| < 1.96 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: z = 1.398

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

標本比率

p̂₁ = 36/80 = 0.45
p̂₂ = 72/200 = 0.36
p̂ = 108/280 = 0.3857

H₀ のもとでの標準誤差

SE = √(0.3857·0.6143·(1/80 + 1/200)) = 0.06439

検定統計量

z = (0.45 − 0.36)/0.06439 = 1.398

答え

z = 1.398

|z| < 1.96 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されません。

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