記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −1.5
標準正規分布表
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681
答え
P = 0.06681
5.信頼区間
答え: E = 2.427 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 130.5 − 125.5 = 5
標準誤差
SE = √(10²/100 + 4²/30) = 1.238
誤差の幅
E = 1.96·1.238 = 2.427
答え
E = 2.427 h
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
6.信頼区間
答え: n = 38329
平均の信頼区間:x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (2.576·38/0.5)² = 38328
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 38329
答え
n = 38329
7.仮説検定と信頼区間
答え: z = −0.5998
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差の標準誤差
SE = √(7²/30 + 16²/40) = √8.033 = 2.834
検定統計量
z = (150 − 151.7)/2.834 = −0.5998
答え
z = −0.5998
|z| < 1.96 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されません。
8.仮説検定と信頼区間
答え: z = 1.398
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.