記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
平均
x̄ = 240/5 = 48
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−19)² + 2² + 2² + 9² + 6² = 486
標準偏差
s = √(486/4) = 11.02
答え
s = 11.02
4.記述統計
答え: z = 1.5
記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (130 − 100)/20 = 1.5
答え
z = 1.5
5.信頼区間
答え: 上限 = 39.86
平均の信頼区間:x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 12, t = 2.179
誤差の幅
E = 2.179·13/√13 = 7.856
区間
32 ± 7.856 → [24.14, 39.86]
答え
上限 = 39.86
6.信頼区間
答え: n = 385
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く
n = 1.96²·0.2·0.8/0.04² = 384.2
切り上げる
n = 385
答え
n = 385
7.仮説検定と信頼区間
答え: p = 0.08379
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
検定統計量
SE = σ/√n = 30/√144 = 2.5
z = (496.55 − 500)/2.5 = −1.38
裾の面積
Φ(1.38) = 0.9162
1 − Φ(1.38) = 0.0838
p 値
p = 0.08379
答え
p = 0.08379
p > 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されません。
8.仮説検定と信頼区間
答え: L = 194.8
平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。