1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
イベントあり イベントなし 合計 治療 224 436 660 a b 対照 141 689 830 c d
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ランダム化比較試験で、660 人の患者が新しい治療を、830 人が対照の治療を受けました。表は、各群で 副作用 があった人数を示しています。 治療によるイベントの相対リスク RR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
治療: 224/660 対照: 141/830
RR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 あるスクリーニング検査の感度は 91%、特異度は 98% です。有病率が 3% の集団で用いられます。 陽性的中率 PPV を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
Se = 91% Sp = 98% p = 3%
PPV =
3. 記述統計 ふつう
15 20 25 30 35 40 45 50 55
データの標本標準偏差 s を求めなさい：49, 25, 59, 28, 15, 23, 12。
n = 7
s =
4. 記述統計 むずかしい
試験の点数は平均 100、標準偏差 12 の正規分布に従います。112 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 100 σ = 12 x = 112
z =
5. 信頼区間 ふつう
n = 10, s = 15.5 L U x̄ = 68.5 E = ? 99%
10 個からなる標本の平均は 68.5、標準偏差は s = 15.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 10 x̄ = 68.5 s = 15.5 99% t(9) = 3.25
E =
6. 信頼区間 むずかしい
μ₁ − μ₂, t(10) = 3.169 0 L = ? U x̄₁ − x̄₂ E 99%
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：5 区画、平均収量 74.5 kg、標準偏差 5.5 kg。区画群 2：7 区画、平均 62.5 kg、標準偏差 5 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。
n₁ = 5 x̄₁ = 74.5 s₁ = 5.5 n₂ = 7 x̄₂ = 62.5 s₂ = 5 99% t(10) = 3.169
下限 =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
10 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は 4.45、差の標準偏差は 3.8 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。
n = 10 d̄ = 4.45 sd = 3.8
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
σ = 20, n = ? x̄ − E x̄ + E x̄ E = 2 99%
平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 20 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 20 E = 2 99%
n =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: RR = 2
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
イベント発生率 EER = 224/660 = 0.3394
CER = 141/830 = 0.1699
相対リスク RR = 0.3394/0.1699 = 1.998 ≈ 2
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: PPV = 58.5 %
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
真陽性と偽陽性（1人あたり） Se·p = 0.91·0.03 = 0.0273
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.02·0.97 = 0.0194
陽性的中率 PPV = 0.0273/(0.0273 + 0.0194) = 0.5846 ≈ 58.5%
同じ検査でも、有病率が低いほど PPV は低くなります。
3. 記述統計
答え: s = 17.46
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = 18.86² + (−5.143)² + 28.86² + (−2.143)² + (−15.14)² + (−7.143)² + (−18.14)² = 1829
4. 記述統計
答え: z = 1
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
5. 信頼区間
答え: E = 15.93
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
誤差の幅 E = 3.25·15.5/√10 = 15.93
6. 信頼区間
答え: 下限 = 2.34 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
プールした標準偏差 sp ² = (4·5.5² + 6·5²)/10 = 27.1
sp = 5.206
誤差の幅 E = 3.169·5.206·√(1/5 + 1/7) = 9.66
区間 12 ± 9.66 → [2.34, 21.66]
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = 3.703
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
df = 9 のとき、両側 5% の臨界値は 2.262 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: n = 664
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
n について解く n = (2.576·20/2)² = 663.6