1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
イベントあり イベントなし 合計 治療 127 783 910 a b 対照 162 648 810 c d
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ランダム化比較試験で、910 人の患者が新しい治療を、810 人が対照の治療を受けました。表は、各群で アウトカム（脳卒中などの望ましくないイベント） があった人数を示しています。 治療によるイベントの相対リスク RR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
治療: 127/910 対照: 162/810
RR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 あるスクリーニング検査の感度は 97%、特異度は 96% です。有病率が 1% の集団で用いられます。 陽性的中率 PPV を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
Se = 97% Sp = 96% p = 1%
PPV =
3. 記述統計 ふつう
25 30 35 40 45 50 55 60
データの標本標準偏差 s を求めなさい：34, 57, 60, 32, 23, 45。
n = 6
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 60、標準偏差 12 の正規分布に従います。42 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 60 σ = 12 x = 42
P =
5. 信頼区間 ふつう
n = 21, s = 15.5 L U = ? x̄ = 78.5 E 95%
21 個からなる標本の平均は 78.5、標準偏差は s = 15.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 21 x̄ = 78.5 s = 15.5 95% t(20) = 2.086
上限 =
6. 信頼区間 むずかしい
p ≈ 0.8, n = ? p̂ − E p̂ + E p̂ E = 0.025 90%
予備調査によると、製品の約 0.8 が不良品です。 割合の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.025 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
p ≈ 0.8 E = 0.025 90%
n =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
学生 36 人の標本の平均点は 198.5、標本標準偏差は 4 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 200 x̄ = 198.5 s = 4 n = 36
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
ある臨床試験で、治療 A の患者 150 人中 38 人、治療 B の患者 150 人中 25 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。
x₁ = 38 n₁ = 150 x₂ = 25 n₂ = 150
z =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: RR = 0.7
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
イベント発生率 EER = 127/910 = 0.1396
CER = 162/810 = 0.2
相対リスク RR = 0.1396/0.2 = 0.6978 ≈ 0.7
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: PPV = 19.7 %
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
真陽性と偽陽性（1人あたり） Se·p = 0.97·0.01 = 0.0097
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.04·0.99 = 0.0396
陽性的中率 PPV = 0.0097/(0.0097 + 0.0396) = 0.1968 ≈ 19.7%
同じ検査でも、有病率が低いほど PPV は低くなります。
3. 記述統計
答え: s = 14.72
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−7.833)² + 15.17² + 18.17² + (−9.833)² + (−18.83)² + 3.167² = 1083
4. 記述統計
答え: P = 0.9332
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332
5. 信頼区間
答え: 上限 = 85.56
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値 df = n − 1 = 20, t = 2.086
誤差の幅 E = 2.086·15.5/√21 = 7.056
区間 78.5 ± 7.056 → [71.44, 85.56]
6. 信頼区間
答え: n = 693
比率の信頼区間： p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n)、p̂ = x/n。誤差の幅を E にするには n ≥ z²·p(1 − p)/E² を切り上げた n が必要です。事前の推定値がなければ、n が最大になる p = 0.5 を使います。
n について解く n = 1.645²·0.8·0.2/0.025² = 692.7
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.25
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差 SE = 4/√36 = 4/6 = 0.6667
検定統計量 t = (198.5 − 200)/0.6667 = −2.25
t = −2.25
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: z = 1.843
仮説検定： 検定統計量 =（推定値 − H₀ のもとでの値）/（H₀ のもとでの標準誤差）。p 値は、H₀ が正しいと仮定したとき、観測されたもの以上に極端な統計量が得られる確率です：片側の H₁ では片側の裾の面積、両側の H₁ では裾の面積の 2 倍です。p ≤ α なら H₀ を棄却します。
標本比率 p̂₁ = 38/150 = 0.2533
p̂₂ = 25/150 = 0.1667
p̂ = 63/300 = 0.21
H₀ のもとでの標準誤差 SE = √(0.21·0.79·(1/150 + 1/150)) = 0.04703
検定統計量 z = (0.2533 − 0.1667)/0.04703 = 1.843
|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。