エビデンスに基づく実践：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度: Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値: PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度: (a + d)/n
尤度比: LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV: Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ: オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT）: NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比: OR = ad/(bc)
罹患率: 新規症例 / 人時

解き方

計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。ある検査の感度は 64%、特異度は 69% です。陽性尤度比 LR+ を求めてください。小数第 2 位まで四捨五入してください。

Se = 64%Sp = 69%

LR+ =

2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。あるスクリーニング検査の感度は 73%、特異度は 99% です。有病率が 30% の集団で用いられます。陽性的中率 PPV を割合（%）で求めてください。小数第 1 位まで四捨五入してください。

Se = 73%Sp = 99%p = 30%

PPV = %

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：60, 42, 60, 16, 29, 39, 19。

n = 7

s =

4.記述統計むずかしい

試験の点数は平均 500、標準偏差 60 の正規分布に従います。428 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 500σ = 60x = 428

z =

5.信頼区間ふつう

12 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は −1.4、標準偏差は 2 です。差の平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 12d̄ = −1.4s_d = 290%t(11) = 1.796

上限 = mmHg

6.信頼区間むずかしい

予備調査によると、製品の約 0.3 が不良品です。割合の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.05 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？

p ≈ 0.3E = 0.0590%

n =

7.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 36 人の標本の平均点は 122.8、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 120x̄ = 122.8s = 8n = 36

t =

8.仮説検定と信頼区間むずかしい

81 回の測定の標本平均は 206.7 です。母標準偏差は 20 です。平均の 90% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 206.7σ = 20n = 8190%

U =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: LR+ = 2.06

尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

陽性尤度比

LR+ = 0.64/(1 − 0.69) = 2.065 ≈ 2.06

答え

LR+ = 2.06

2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: PPV = 96.9 %

予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。

真陽性と偽陽性（1人あたり）

Se·p = 0.73·0.3 = 0.219

(1 − Sp)·(1 − p) = 0.01·0.7 = 0.007

陽性的中率

PPV = 0.219/(0.219 + 0.007) = 0.969 ≈ 96.9%

答え

PPV = 96.9%

同じ検査でも、有病率が低いほど PPV は低くなります。

3.記述統計

答え: s = 17.85

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 265/7 = 37.86

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 22.14² + 4.143² + 22.14² + (−21.86)² + (−8.857)² + 1.143² + (−18.86)² = 1911

標準偏差

s = √(1911/6) = 17.85

答え

s = 17.85

4.記述統計

答え: z = −1.2

標準化する

z = (428 − 500)/60 = −1.2

答え

z = −1.2

5.信頼区間

答え: 上限 = −0.3631 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 11, t = 1.796

誤差の幅

E = 1.796·2/√12 = 1.037

区間

−1.4 ± 1.037 → [−2.437, −0.3631]

答え

上限 = −0.3631 mmHg

6.信頼区間

答え: n = 228

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n について解く

n = 1.645²·0.3·0.7/0.05² = 227.3

切り上げる

n = 228

答え

n = 228

7.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.1

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333

検定統計量

t = (122.8 − 120)/1.333 = 2.1

答え

t = 2.1

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

8.仮説検定と信頼区間

答え: U = 210.4

誤差の幅

E = 1.645·20/√81 = 3.656

区間の端

U = 206.7 + 3.656 = 210.4

答え

U = 210.4

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