1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
検査 疾患あり 疾患なし 合計 正 199 198 397 a b 負 41 1042 1083 c d 合計 240 1240 1480
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 新しい検査を、ある研究で基準となる標準検査と比較しました（2 × 2 表を参照）。 陽性尤度比 LR+ を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 199 b = 198 c = 41 d = 1042
LR+ =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 あるスクリーニング検査の感度は 97%、特異度は 81% です。有病率が 3% の集団で用いられます。 陽性的中率 PPV を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
Se = 97% Sp = 81% p = 3%
PPV =
3. 記述統計 ふつう
15 20 25 30 35 40
データの標本標準偏差 s を求めなさい：14, 26, 34, 40, 37, 42。
n = 6
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 170、標準偏差 8 の正規分布に従います。160.4 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 170 σ = 8 x = 160.4
P =
5. 信頼区間 ふつう
μ₁ − μ₂ 0 L U = ? x̄₁ − x̄₂ E 90%
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：60 台、平均 136 h、既知の標準偏差 9 h。機種 2：80 台、平均 125.5 h、既知の標準偏差 11 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
n₁ = 60 x̄₁ = 136 h σ₁ = 9 h n₂ = 80 x̄₂ = 125.5 h σ₂ = 11 h 90%
上限 =
6. 信頼区間 むずかしい
p ≈ 0.8, n = ? p̂ − E p̂ + E p̂ E = 0.05 99%
予備調査によると、製品の約 0.8 が不良品です。 割合の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.05 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
p ≈ 0.8 E = 0.05 99%
n =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
学生 100 人の標本の平均点は 97.3、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 100 x̄ = 97.3 s = 15 n = 100
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
H₀: μ = 500 対 H₁: μ < 500 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 25 で行います。標準偏差は 15 であることがわかっています。実際の平均は 489.2 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 500 μ = 489.2 σ = 15 n = 25 α = 0.01
β =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: LR+ = 5.19
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
感度と特異度 Se = 199/240 = 0.8292
Sp = 1042/1240 = 0.8403
陽性尤度比 LR+ = 0.8292/(1 − 0.8403) = 5.193 ≈ 5.19
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: PPV = 13.6 %
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
真陽性と偽陽性（1人あたり） Se·p = 0.97·0.03 = 0.0291
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.19·0.97 = 0.1843
陽性的中率 PPV = 0.0291/(0.0291 + 0.1843) = 0.1364 ≈ 13.6%
同じ検査でも、有病率が低いほど PPV は低くなります。
3. 記述統計
答え: s = 10.52
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−18.17)² + (−6.167)² + 1.833² + 7.833² + 4.833² + 9.833² = 552.8
4. 記述統計
答え: P = 0.8849
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849
5. 信頼区間
答え: 上限 = 13.28 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値 x̄₁ − x̄₂ = 136 − 125.5 = 10.5
標準誤差 SE = √(9²/60 + 11²/80) = 1.692
区間 10.5 ± 2.783 → [7.717, 13.28]
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
6. 信頼区間
答え: n = 425
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く n = 2.576²·0.8·0.2/0.05² = 424.7
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = −1.8
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差 SE = 15/√100 = 15/10 = 1.5
検定統計量 t = (97.3 − 100)/1.5 = −1.8
t = −1.8
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: β = 10.13 %
検定の検出力： 検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均 SE = 15/√25 = 3
x̄c = 500 − 2.326·3 = 493
真の平均のもとでの z z = (493 − 489.2)/3 = 1.274
第 2 種の誤り 検出力 = P(Z < 1.274) = 89.87%
β = 100% − 89.87% = 10.13%