エビデンスに基づく実践:直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT)
NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間:x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
症例対照曝露あり6028ab曝露なし160222cd

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 症例対照研究で、疾患のある患者 220 人(症例)と疾患のない 250 人(対照)を比較しました。表は、各群でリスク因子に曝露された人数を示しています。この曝露のオッズ比 OR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。

a = 60b = 28c = 160d = 222
OR =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
CER37%EER?RRR 48%

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ある治療は、イベントのリスクを相対的に 48% 減らします(RRR = 48%)。ある患者群では、治療しない場合のリスク(CER)は5年間で 37% です。5年間でイベントを1件防ぐのに必要な治療必要数 NNT を求めてください。 患者数の整数に切り上げます。

RRR = 48%CER = 37%
NNT =
3.記述統計ふつう
152025303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい:45, 46, 56, 39, 15, 16, 54。

n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 100、標準偏差 8 の正規分布に従います。96 より小さい値の割合 P はいくつですか?

μ = 100σ = 8x = 96
P =
5.信頼区間ふつう
n = 10, s = 5.5L = ?Ux̄ = 44.5E90%

10 個からなる標本の平均は 44.5、標準偏差は s = 5.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 10x̄ = 44.5s = 5.590%t(9) = 1.833
下限 =
6.信頼区間むずかしい
p = 0.5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0499%

不良品の割合について事前には何もわかっていません。 割合の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.04 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか?

p = 0.5E = 0.0499%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
−1.961.96z = ?

2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1:80 個の部品の標本の平均長さは 68 mm で、ラインの既知の標準偏差は 16 mm です。ライン 2:30 個の部品の標本の平均は 78.4 mm、既知の標準偏差は 17 mm です。差を x̄₁ − x̄₂(ライン 1 − ライン 2)として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。

n₁ = 80x̄₁ = 68 mmσ₁ = 16 mmn₂ = 30x̄₂ = 78.4 mmσ₂ = 17 mm
z =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
z −2.57602.576

16 回の測定の標本平均は 92.9 です。母標準偏差は 15 です。平均の 99% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 92.9σ = 15n = 1699%
L =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: OR = 2.97

尤度比とリスク指標:LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

曝露のオッズ

症例: 60/160 = 0.375
対照: 28/222 = 0.1261

オッズ比

OR = (60·222)/(28·160) = 2.973 ≈ 2.97

答え

OR = 2.97

OR が1より大きい:曝露は症例のほうに多くみられます。

2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: NNT = 6

予測値は有病率に依存します:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。

絶対リスク減少

ARR = 0.37·0.48 = 0.1776

治療必要数(NNT)

NNT = 1/0.1776 = 5.631 → 6

答え

NNT = 6

同じ相対効果でも、ベースラインのリスクが高いほど NNT は小さくなります。

3.記述統計

答え: s = 16.85

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 271/7 = 38.71

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 6.286² + 7.286² + 17.29² + 0.2857² + (−23.71)² + (−22.71)² + 15.29² = 1703

標準偏差

s = √(1703/6) = 16.85

答え

s = 16.85
4.記述統計

答え: P = 0.3085

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = −0.5

標準正規分布表

Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085

答え

P = 0.3085
5.信頼区間

答え: 下限 = 41.31

平均の信頼区間:x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 9, t = 1.833

誤差の幅

E = 1.833·5.5/√10 = 3.188

区間

44.5 ± 3.188 → [41.31, 47.69]

答え

下限 = 41.31
6.信頼区間

答え: n = 1037

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n について解く

n = 2.576²·0.5·0.5/0.04² = 1037

切り上げる

n = 1037

答え

n = 1037
7.仮説検定と信頼区間

答え: z = −2.903

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差の標準誤差

SE = √(16²/80 + 17²/30) = √12.83 = 3.582

検定統計量

z = (68 − 78.4)/3.582 = −2.903

答え

z = −2.903

|z| > 1.96 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されます。

8.仮説検定と信頼区間

答え: L = 83.24

平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。

誤差の幅

E = 2.576·15/√16 = 9.66

区間の端

L = 92.9 − 9.66 = 83.24

答え

L = 83.24

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