1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
症例 対照 曝露あり 115 109 a b 曝露なし 265 101 c d
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 症例対照研究で、疾患のある患者 380 人（症例）と疾患のない 210 人（対照）を比較しました。表は、各群でリスク因子に曝露された人数を示しています。この曝露のオッズ比 OR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 115 b = 109 c = 265 d = 101
OR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
対照 12% 治療 ?
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 薬を使わない場合、患者の 12% が1年間にある副作用を経験します。この薬はこのリスクを相対リスク RR = 1.21 で高めます。害必要数 NNH を求めてください。副作用が出る患者が1人増えるには、何人の患者が1年間この薬を服用しなければなりませんか。 患者数の整数に切り上げます。
対照 12% RR = 1.21
NNH =
3. 記述統計 ふつう
25 30 35 40 45 50 55
データの標本標準偏差 s を求めなさい：25, 59, 54, 35, 44, 51。
n = 6
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 170、標準偏差 5 の正規分布に従います。160 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 170 σ = 5 x = 160
P =
5. 信頼区間 ふつう
μ₁ − μ₂ 0 L U = ? x̄₁ − x̄₂ E 90%
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：100 台、平均 98.5 h、既知の標準偏差 11 h。機種 2：100 台、平均 96 h、既知の標準偏差 3 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
n₁ = 100 x̄₁ = 98.5 h σ₁ = 11 h n₂ = 100 x̄₂ = 96 h σ₂ = 3 h 90%
上限 =
6. 信頼区間 むずかしい
σ = 33, n = ? x̄ − E x̄ + E x̄ E = 2.5 95%
母標準偏差は 33 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 33 E = 2.5 95%
n =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
2 つの指導法を比べます。グループ 1：5 人の学生、平均点 68.5、標準偏差 8.5。グループ 2：12 人の学生、平均点 60.2、標準偏差 7.5。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。
n₁ = 5 x̄₁ = 68.5 s₁ = 8.5 n₂ = 12 x̄₂ = 60.2 s₂ = 7.5
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
100 回の測定の標本平均は 195.7 です。母標準偏差は 15 です。平均の 90% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
x̄ = 195.7 σ = 15 n = 100 90%
U =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: OR = 0.4
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
曝露のオッズ 症例: 115/265 = 0.434
対照: 109/101 = 1.079
オッズ比 OR = (115·101)/(109·265) = 0.4021 ≈ 0.4
OR が1より小さい：曝露は症例のほうに少なく、防御的な効果を示唆します。
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: NNH = 40
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
絶対リスク増加 ARI = 0.1452 − 0.12 = 0.0252
害必要数（NNH） NNH = 1/0.0252 = 39.68 → 40
3. 記述統計
答え: s = 12.75
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−19.67)² + 14.33² + 9.333² + (−9.667)² + (−0.6667)² + 6.333² = 813.3
4. 記述統計
答え: P = 0.9772
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(−2) = 0.02275
P = 1 − 0.02275 = 0.9772
5. 信頼区間
答え: 上限 = 4.376 h
差の区間： 推定値 ± 臨界値 × 標準誤差。σ が既知の独立な 2 つの平均では SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) と z を使います。未知の分散が等しい場合は、プールした s_p と自由度 n₁ + n₂ − 2 の t を使います。対応のあるデータでは差を扱います：d̄ ± t·s_d/√n。
点推定値 x̄₁ − x̄₂ = 98.5 − 96 = 2.5
標準誤差 SE = √(11²/100 + 3²/100) = 1.14
区間 2.5 ± 1.876 → [0.6244, 4.376]
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
6. 信頼区間
答え: n = 670
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く n = (1.96·33/2.5)² = 669.4
切り上げる 標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = 2.004
仮説検定： 検定統計量 =（推定値 − H₀ のもとでの値）/（H₀ のもとでの標準誤差）。p 値は、H₀ が正しいと仮定したとき、観測されたもの以上に極端な統計量が得られる確率です：片側の H₁ では片側の裾の面積、両側の H₁ では裾の面積の 2 倍です。p ≤ α なら H₀ を棄却します。
プールした分散 sp ² = (4·8.5² + 11·7.5²)/15 = 60.52
sp = 7.779
標準誤差 SE = 7.779·√(1/5 + 1/12) = 4.141
検定統計量 t = (68.5 − 60.2)/4.141 = 2.004
df = 15 のとき、両側 5% の臨界値は 2.131 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: U = 198.2
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
誤差の幅 E = 1.645·15/√100 = 2.468
区間の端 U = 195.7 + 2.468 = 198.2