エビデンスに基づく実践：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度: Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値: PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度: (a + d)/n
尤度比: LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV: Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ: オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT）: NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比: OR = ad/(bc)
罹患率: 新規症例 / 人時

解き方

計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。ランダム化比較試験で、410 人の患者が新しい治療を、530 人が対照の治療を受けました。表は、各群でアウトカム（脳卒中などの望ましくないイベント）があった人数を示しています。相対リスク減少 RRR を割合（%）で求めてください。小数第 1 位まで四捨五入してください。

治療: 33/410対照: 85/530

RRR = %

2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 10 000 人が、感度 73%、特異度 90% の検査でスクリーニングされます。疾患の有病率は 3% です。真陽性の結果 TP は何件と予想されますか。

N = 10 000p = 3%Se = 73%Sp = 90%

TP =

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：59, 38, 12, 16, 25, 44, 59。

n = 7

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 500、標準偏差 40 の正規分布に従います。420 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 500σ = 40x = 420

P =

5.信頼区間ふつう

30 個からなる標本の平均は 25.5、標準偏差は s = 15 です。母集団はほぼ正規分布に従います。平均の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 30x̄ = 25.5s = 1599%t(29) = 2.756

上限 =

6.信頼区間むずかしい

予備調査によると、製品の約 0.1 が不良品です。割合の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.05 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？

p ≈ 0.1E = 0.0590%

n =

7.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 64 人の標本の平均点は 500.4、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 500x̄ = 500.4s = 5n = 64

t =

8.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 4 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 4E = 0.599%

n =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: RRR = 49.8 %

尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

イベント発生率

EER = 33/410 = 0.08049

CER = 85/530 = 0.1604

相対リスク減少

ARR = 0.1604 − 0.08049 = 0.07989

RRR = 0.07989/0.1604 = 0.4981 ≈ 49.8%

答え

RRR = 49.8%

2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: TP = 219

予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。

疾患のある人とない人

10 000·0.03 = 300

10 000 − 300 = 9700

真陽性

TP = 300·0.73 = 219

答え

TP = 219

3.記述統計

答え: s = 19.25

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 253/7 = 36.14

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 22.86² + 1.857² + (−24.14)² + (−20.14)² + (−11.14)² + 7.857² + 22.86² = 2223

標準偏差

s = √(2223/6) = 19.25

答え

s = 19.25

4.記述統計

答え: P = 0.02275

標準化する

z = −2

標準正規分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

答え

P = 0.02275

5.信頼区間

答え: 上限 = 33.05

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 29, t = 2.756

誤差の幅

E = 2.756·15/√30 = 7.548

区間

25.5 ± 7.548 → [17.95, 33.05]

答え

上限 = 33.05

6.信頼区間

答え: n = 98

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n について解く

n = 1.645²·0.1·0.9/0.05² = 97.42

切り上げる

n = 98

答え

n = 98

7.仮説検定と信頼区間

答え: t = 0.64

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 5/√64 = 5/8 = 0.625

検定統計量

t = (500.4 − 500)/0.625 = 0.64

答え

t = 0.64

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: n = 425

n について解く

n = (2.576·4/0.5)² = 424.7

切り上げる

n = 425

答え

n = 425

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