エビデンスに基づく実践:直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT)
NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間:x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
人数年15101.521804新規症例62

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 コホートで、複数の群を異なる期間追跡しました(表を参照:各群の人数と追跡年数)。追跡中に 62 件の新規症例が発生しました。罹患率 IR を1000人年あたりで求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

510 × 1.5 年180 × 4 年62 新規症例
IR = 1000人年あたり
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
検査前15%検査後?p′LR−

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ある患者の疾患の検査前確率は 15% です。感度 97%、特異度 94% の検査の結果は 負 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

検査前 15%Se = 97%Sp = 94%負
p′ = %
3.記述統計ふつう
1520253035404550

データの標本標準偏差 s を求めなさい:53, 20, 14, 28, 24。

n = 5
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

試験の点数は平均 170、標準偏差 5 の正規分布に従います。180 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 170σ = 5x = 180
z =
5.信頼区間ふつう
x̄E₁ = 1099%, n = 25x̄E₂ = ?90%, n = 25

σ が既知のもとで 25 個の観測値に基づく平均の 99% 信頼区間の誤差の幅は 10 です。 同じデータから求めた 90% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか?

99%n₁ = 25E₁ = 1090%
E₂ =
6.信頼区間むずかしい
σ = 3, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 195%

母標準偏差は 3 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか?

σ = 3E = 195%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.2012.201t = ?df = 11

12 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前(1 分あたりの単語数)を記録します。差の平均は 2.6、差の標準偏差は 6 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。

n = 12d̄ = 2.6sd = 6
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
z −2.57602.576

81 回の測定の標本平均は 75.7 です。母標準偏差は 5 です。平均の 99% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 75.7σ = 5n = 8199%
L =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: IR = 41.8 1000人年あたり

尤度比とリスク指標:LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

人年

PY = 510·1.5 + 180·4 = 1485

罹患率

IR = 62/1485·1000 = 41.8 1000人年あたり

答え

IR = 41.8 1000人年あたり
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: p′ = 0.6 %

予測値は有病率に依存します:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。

尤度比

LR− = (1 − 0.97)/0.94 = 0.03191

検査前オッズ

0.15/(1 − 0.15) = 0.1765

検査後オッズ

0.1765·0.03191 = 0.005632

検査後確率

p′ = 0.005632/(1 + 0.005632) = 0.0056 ≈ 0.6%

答え

p′ = 0.6%
3.記述統計

答え: s = 15.01

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 139/5 = 27.8

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 25.2² + (−7.8)² + (−13.8)² + 0.2² + (−3.8)² = 900.8

標準偏差

s = √(900.8/4) = 15.01

答え

s = 15.01
4.記述統計

答え: z = 2

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = (180 − 170)/5 = 2

答え

z = 2
5.信頼区間

答え: E₂ = 6.386

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

誤差の幅の比

E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(25/25) = 0.6386

新しい誤差の幅

E₂ = 10·0.6386 = 6.386

答え

E₂ = 6.386
6.信頼区間

答え: n = 35

平均の信頼区間:x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.96·3/1)² = 34.57

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 35

答え

n = 35
7.仮説検定と信頼区間

答え: t = 1.501

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

差の平均の標準誤差

SE = 6/√12 = 1.732

検定統計量

t = 2.6/1.732 = 1.501

答え

t = 1.501

df = 11 のとき、両側 5% の臨界値は 2.201 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: L = 74.27

平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。

誤差の幅

E = 2.576·5/√81 = 1.431

区間の端

L = 75.7 − 1.431 = 74.27

答え

L = 74.27

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