1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
イベントあり イベントなし 合計 治療 158 722 880 a b 対照 61 109 170 c d
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ランダム化比較試験で、880 人の患者が新しい治療を、170 人が対照の治療を受けました。表は、各群で アウトカム（脳卒中などの望ましくないイベント） があった人数を示しています。 治療によるイベントの相対リスク RR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
治療: 158/880 対照: 61/170
RR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある患者の疾患の検査前確率は 15% です。感度 92%、特異度 88% の検査の結果は 負 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
検査前 15% Se = 92% Sp = 88% 負
p′ =
3. 記述統計 ふつう
25 30 35 40 45 50 55
データの標本標準偏差 s を求めなさい：33, 27, 59, 21, 24。
n = 5
s =
4. 記述統計 むずかしい
試験の点数は平均 50、標準偏差 12 の正規分布に従います。57.2 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 50 σ = 12 x = 57.2
z =
5. 信頼区間 ふつう
x̄ E₁ = 2.1 90%, n = 64 x̄ E₂ = ? 95%, n = 64
σ が既知のもとで 64 個の観測値に基づく平均の 90% 信頼区間の誤差の幅は 2.1 です。 同じデータから求めた 95% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？
90% n₁ = 64 E₁ = 2.1 95%
E₂ =
6. 信頼区間 むずかしい
μ₁ − μ₂, t(29) = 2.756 0 L U = ? x̄₁ − x̄₂ E 99%
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：15 区画、平均収量 15.5 kg、標準偏差 6.5 kg。区画群 2：16 区画、平均 14.5 kg、標準偏差 8.5 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。
n₁ = 15 x̄₁ = 15.5 s₁ = 6.5 n₂ = 16 x̄₂ = 14.5 s₂ = 8.5 99% t(29) = 2.756
上限 =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
学生 16 人の標本の平均点は 117.2、標本標準偏差は 8 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 120 x̄ = 117.2 s = 8 n = 16
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
H₀: μ = 100 対 H₁: μ < 100 の片側 z 検定を、α = 0.05、標本サイズ 100 で行います。標準偏差は 25 であることがわかっています。実際の平均は 93.25 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 100 μ = 93.25 σ = 25 n = 100 α = 0.05
1 − β =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: RR = 0.5
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
イベント発生率 EER = 158/880 = 0.1795
CER = 61/170 = 0.3588
相対リスク RR = 0.1795/0.3588 = 0.5004 ≈ 0.5
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: p′ = 1.6 %
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
尤度比 LR− = (1 − 0.92)/0.88 = 0.09091
検査後確率 p′ = 0.01604/(1 + 0.01604) = 0.01579 ≈ 1.6%
3. 記述統計
答え: s = 15.3
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = 0.2² + (−5.8)² + 26.2² + (−11.8)² + (−8.8)² = 936.8
4. 記述統計
答え: z = 0.6
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
5. 信頼区間
答え: E₂ = 2.502
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
誤差の幅の比 E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(64/64) = 1.191
6. 信頼区間
答え: 上限 = 8.528 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
プールした標準偏差 sp ² = (14·6.5² + 15·8.5²)/29 = 57.77
sp = 7.6
誤差の幅 E = 2.756·7.6·√(1/15 + 1/16) = 7.528
区間 1 ± 7.528 → [−6.528, 8.528]
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = −1.4
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
検定統計量 t = (117.2 − 120)/2 = −1.4
t = −1.4
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 85.43 %
検定の検出力： 検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均 SE = 25/√100 = 2.5
x̄c = 100 − 1.645·2.5 = 95.89
真の平均のもとでの z z = (95.89 − 93.25)/2.5 = 1.055
電力 検出力 = P(Z < 1.055) = 85.43%
1 − β = 85.43%